3.5.12∗. Колебательную систему при наличии сопротивления называют осциллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддерживающие, - затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилляторов, сила сопротивления движению которых $f_{1}= -b_{1}v_{1}$,$f_{2}= -b_{2}v_{2}$ при $k_{1}/m_{1} = k_{2}/m_{2} = \omega_{0}^2$ и $b_{1}/m_{1} = b_{2}/m_{2} = 2\gamma$ имеют одинаковое решение при одинаковых начальных координатах и скоростях. ($\omega_{0}$ - частота свободных колебаний в отсутствие трения, $\gamma$ - коэффициент затухания, $k_{1}, k_{2}$ - жесткости и $m_{1}, m_{2}$ - массы осцилляторов)
Решение
Запишем II закон Ньютона для осцилляторов 1 и 2 (с учетом того, что $v = x'(t), a = x''(t)$):