Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.5.24.md
+9 −28
| @@ -1,44 +1,25 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.24.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $3.5.24.$ На частицу массы $m$ действует сила $F = F_{0}sin\omega t$, вынуждающая частицу колебаться около положения равновесия. Представьте себе, что эту силу развивает пружина, прикрепленная к неподвижной стенке, и найдите в этом случае амплитуду колебаний частицы. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| + | $F_{0}$ есть ни что иное, как модуль максимальной возвращающей силы. В случае пружины он будет равен: | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + | $$F_{0} = kA$$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | Где $k$ - жесткость пружины, $A$ - амплитуда. Вспомним также, что жесткость связана с массой следующим выражением: | ||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| + | $$\omega^2 = \frac{k}{m}$$ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| + | Объединяя выражения, указанные выше, получим: | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| + | $$A = \frac{F_{0}}{m \omega^2}$$ | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| + | $$A = \frac{F_{0}}{m \omega^2}$$ | ||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| @@ -1,44 +1,25 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.24.$ [Вставьте описание задачи] | $3.5.24.$ На частицу массы $m$ действует сила $F = F_{0}sin\omega t$, вынуждающая частицу колебаться около положения равновесия. Представьте себе, что эту силу развивает пружина, прикрепленная к неподвижной стенке, и найдите в этом случае амплитуду колебаний частицы. | ||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| [Здесь должно быть ваше решение] | $F_{0}$ есть ни что иное, как модуль максимальной возвращающей силы. В случае пружины он будет равен: | ||
| __Пример решения__: | $$F_{0} = kA$$ | ||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | Где $k$ - жесткость пружины, $A$ - амплитуда. Вспомним также, что жесткость связана с массой следующим выражением: | ||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | $$\omega^2 = \frac{k}{m}$$ | ||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | Объединяя выражения, указанные выше, получим: | ||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | $$A = \frac{F_{0}}{m \omega^2}$$ | ||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$A = \frac{F_{0}}{m \omega^2}$$ | ||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||