Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Shrodinger_cat правка от
Посмотреть решение История
правка #13057 предыдущая #13056 ← раньше позже →
ru/7.4.19.md +40 −34
@@ -1,44 +1,50 @@
### Условие
−$7.4.19.$ [Вставьте описание задачи]
+$7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили.
+Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили
+на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами
+удвоится?
−__Пример условия__:
−$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
### Решение
+Небольшое изменение кинетической энергии равно работе, совершённой кулоновской силой на небольшом перемещении:
+$$
+dK = dA\space\space\space(1)
+$$
+Работа кулоновской силы равна:
+$$
+dA = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}dr \space\space\space(2)
+$$
+Изменение кинетической энергии равно:
+$$
+dK = \frac{mdv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2\space\space\space(3)
+$$
+Приравняв и преобразовав выражения $2$ и $3$, получим:
+$$
+dt = \lambda\sqrt{r^2dr}\space\space\space(4)
+$$
+где $$\lambda = (\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{m})^{-2}$$
−[Здесь должно быть ваше решение]
+Интегрируя выражение $4$ от $l$ до $2l$, мы получим $t_0$:
+$$
+t_0 = \lambda\sqrt{\int{r^2dr}} = \lambda\sqrt{\frac{7l^3}{3}}\space\space\space(5)
+$$
−__Пример решения__:
−Ускорение тела задано как
+Аналогичные действия проводим для $kl$ и получим:
+$$
+t_1 = \lambda\sqrt{\frac{7k^3l^3}{3}}\space\space\space(6)
+$$
+Разделив выражения $5$ и $6$, получим:
+$$
+\frac{t_1}{t_0} = k^{\frac{3}{2}}
+$$
+И получаем ответ:
+$$
+t_1 = k^{\frac{3}{2}}t_0 = 3\sqrt{3}t_0
+$$
−$$a(t) = bt$$
−
−Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
−
−$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
−
−Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
−
−$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
−
−Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
−
−$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
−
−Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
−
−$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
−
−Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
−
−$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
−
#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
−
−
−__Пример ответа__:
−$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$
+$$
+t_0 = 3\sqrt{3}t_0
+$$