Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #13452 предыдущая #13058 ← раньше позже →
ru/7.4.19.md +26 −15
@@ -1,50 +1,61 @@
### Условие
−$7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили.
−Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили
−на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами
−удвоится?
+$7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили. Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится?
−
−
### Решение
+
Небольшое изменение кинетической энергии равно работе, совершённой кулоновской силой на небольшом перемещении:
+
$$
−dK = dA\space\space\space(1)
+dK = dA\tag{1}
$$
+
Работа кулоновской силы равна:
+
$$
−dA = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}dr \space\space\space(2)
+dA = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}dr \tag{2}
$$
+
Изменение кинетической энергии равно:
+
$$
−dK = \frac{mdv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2\space\space\space(3)
+dK = \frac{mdv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2\tag{3}
$$
−Приравняв и преобразовав выражения $2$ и $3$, получим:
+
+Приравняв и преобразовав выражения $(2)$ и $(3)$, получим:
+
$$
−dt = \lambda\sqrt{r^2dr}\space\space\space(4)
+dt = \lambda\sqrt{r^2dr}\tag{4}
$$
+
где $$\lambda = (\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{m})^{-2}$$
−Интегрируя выражение $4$ от $l$ до $2l$, мы получим $t_0$:
+Интегрируя выражение $(4)$ от $l$ до $2l$, мы получим $t_0$:
+
$$
−t_0 = \lambda\sqrt{\int{r^2dr}} = \lambda\sqrt{\frac{7l^3}{3}}\space\space\space(5)
+t_0 = \lambda\sqrt{\int{r^2dr}} = \lambda\sqrt{\frac{7l^3}{3}}\tag{5}
$$
Аналогичные действия проводим для $kl$ и получим:
+
$$
−t_1 = \lambda\sqrt{\frac{7k^3l^3}{3}}\space\space\space(6)
+t_1 = \lambda\sqrt{\frac{7k^3l^3}{3}}\tag{6}
$$
−Разделив выражения $5$ и $6$, получим:
+
+Разделив выражения $(5)$ и $(6)$, получим:
+
$$
\frac{t_1}{t_0} = k^{\frac{3}{2}}
$$
+
И получаем ответ:
+
$$
t_1 = k^{\frac{3}{2}}t_0 = 3\sqrt{3}t_0
$$
#### Ответ
+
$$
t_1 = 3\sqrt{3}t_0
$$