Решение

Нас просят доказать теорему Ирншоу. Отделим какой-нибудь заряд неким контуром и, для наглядности, пусть заряд будет положительным. Заряд будет в устойчивом равновесии, если, отклонив его от его устойчивого положения, у него появится возвращающая сила. Это будет возможно при условии того, что векторы напряжённости, создаваемые другими зарядами, кроме выбранного нами, будут направлены в точку устойчивого равновесия.

Значения углов векторов напряжённости и нормали к поверности больше $90^\circ$. Значит значения косинусов будет отрицательным. Поэтому поток векторов напряжённости отрицательный (см. определение потока векторного поля). Но из теоремы Гаусса следует, что поток векторов напряжённости внешних зарядов равен нулю, что приводит к противоречию.

Что и требовалось доказать!