| @@ -1,58 +1,64 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.6.43.$ |
| $2.6.43.$ |
| |
| |
| |
| |
| С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра плане-ты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α? |
| С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$ . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$ . На каком расстоянии от центра плане-ты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$? |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Записываем законы нютона для вращающегося корабля |
| Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля |
| $$ |
| $$ |
| \frac{mu^2}{R}=\frac |
| \frac{mu^2}{R}=\frac |
| {GMm}{R^2 |
| {GMm}{R^2 |
| } |
| } |
| $$ |
| $$ |
| выражаем |
| Выражаем квадрат скорости |
| $$ |
| $$ |
| u^2=\frac{GM}{R}$$ |
| u^2=\frac{GM}{R}$$ |
| записываем закон сохранения момента импульса |
| Записываем закон сохранения момента импульса |
| $L=muR$ |
| $$ |
| semi lactus rectum |
| L=muR |
| |
| $$ |
| |
| Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| r={\frac{r_o}{1-\epsilon cos(\phi)}} |
| \vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}} |
| $$ |
| $$ |
| запишем закон сохранения энергия |
| Запишем закон сохранения энергии |
| $$ |
| $$ |
| E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ |
| E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ |
| и из верховного управление следут что $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ |
| И из верховного уравнения следует что $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ |
| запишем эсцентриситет |
| Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра до тела) |
| $$ |
| $$ |
| \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ |
| \epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$ |
| |
| |
| найдем |
| Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет |
| эсцентриситет |
| |
| $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ |
| $$\epsilon=\frac{V}{u}$$ |
| |
| |
| иза начала отсчёта |
| Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$ |
| |
| |
| |
| Остюда |
| |
| : |
| $$ |
| $$ |
| cos(\phi)=sin(\alpha)$$ |
| cos(\phi)=sin(\alpha)$$ |
| так как |
| Так же мы знаем: |
| $$ |
| $$ |
| r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ |
| r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ |
| отсюда следует что |
| Отсюда следует что |
| $$ |
| $$ |
| r_0=R$$ |
| r_0=R$$ |
| от этого всего получаем что |
| От этого всего получаем что |
| $$ |
| $$ |
| r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}$$ |
| \boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| |
| $$ |
| |
| r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
