| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.6.53^*.$ Известный физик Ф. Дайсон высказал предположение, что можно было бы полностью использовать энергию звезд, если бы космические цивилизации могли окружить звезды сферическими оболочками. Найдите напряжение в материале неподвижной однородной оболочки, которая окружила бы в соответствии с этим предположением Солнце, при ее радиусе, равном радиусу земной орбиты. Плотность материала оболочки $\rho =4 \cdot 10^3 \mathrm{~кг} / \mathrm{м}^3$. | | $2.6.53^*.$ Известный физик Ф. Дайсон высказал предположение, что можно было бы полностью использовать энергию звезд, если бы космические цивилизации могли окружить звезды сферическими оболочками. Найдите напряжение в материале неподвижной однородной оболочки, которая окружила бы в соответствии с этим предположением Солнце, при ее радиусе, равном радиусу земной орбиты. Плотность материала оболочки $\rho =4 \cdot 10^3 \mathrm{~кг} / \mathrm{м}^3$. |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| Силу, действующую на небольшую площадь сферы, можно определить как механическое напряжение, умноженное на эту площадь: | | Силу, действующую на небольшую площадь сферы, можно определить как механическое напряжение, умноженное на эту площадь: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| σdS=dF | | σdS=dF |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из стереометрии нам известно, что площадь сферы можно определить как произведение квадрата радиуса и телесного угла сферы: | | Из стереометрии нам известно, что площадь сферы можно определить как произведение квадрата радиуса и телесного угла сферы: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| S=4πR²=R²Ω | | S=4πR²=R²Ω |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Берём производную площади, с учётом того, что телесный угол постоянный: | | Берём производную площади, с учётом того, что телесный угол постоянный: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dS=2RdRΩ | | dS=2RdRΩ |
| $$ | | $$ |
| Отсюда приращение радиуса(толщина сферы неизвестна) | | Отсюда приращение радиуса(толщина сферы неизвестна) |
| $$ | | $$ |
| dR=\frac{dS}{2RΩ} | | dR=\frac{dS}{2RΩ} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Сила на малую часть сферы: | | Сила на малую часть сферы: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dF=g*dm | | dF=g*dm |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Применив теорему Гаусса, получим поток напряжённости гравитационного поля: | | Применив теорему Гаусса, получим поток напряжённости гравитационного поля: |
| $$ | | $$ |
| \oint gdS=-4πGM | | \oint gdS=-4πGM |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| -4πR²g=-4πGM | | -4πR²g=-4πGM |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Отсюда найдем напряжонность поля: | | Отсюда найдем напряжонность поля: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| g=\frac{GM}{R²} | | g=\frac{GM}{R²} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Масса малой части сферы: | | Масса малой части сферы: |
| $$ | | $$ |
| dm=ρdV | | dm=ρdV |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Производная площади, которую можно записать через производную плоащди: | | Производная площади, которую можно записать через производную плоащди: |
| $$ | | $$ |
| dV=4πR²dR=\frac{RdS}{2} | | dV=4πR²dR=\frac{RdS}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставим силу в самое первое уравнение: | | Подставим силу в самое первое уравнение: |
| $$ | | $$ |
| σdS=\frac{GM}{R²}ρ\frac{RdS}{2} | | σdS=\frac{GM}{R²}ρ\frac{RdS}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Получим рабочую формулу механического напряжения: | | Получим рабочую формулу механического напряжения: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| σ=\frac{GMρ}{2R} | | σ=\frac{GMρ}{2R} |
