Правка раздела «Альтернативное решение»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #13964 предыдущая #13363 ← раньше
ru/2.6.53.md +36 −28
@@ -9,74 +9,82 @@Решение:
![|1862x752, 67%](../../img/2.6.53/01.png)
### Альтернативное решение
−Силу, действующую на небольшую площадь сферы, можно определить как механическое напряжение, умноженное на эту площадь:
+Силу, действующую на малую площадь сферы, можно выразить как произведение механического напряжения на эту площадь:
+
$$
−σdS=dF
+\mathrm{d}F = \sigma\, \mathrm{d}S
$$
−Из стереометрии нам известно, что площадь сферы можно определить как произведение квадрата радиуса и телесного угла сферы:
+Из стереометрии известно, что площадь полной сферы:
$$
−S=4πR²=R²Ω
+S = 4\pi R^2 = R^2 \Omega,
$$
−Берём производную площади, с учётом того, что телесный угол постоянный:
+где \( \Omega = 4\pi \) — телесный угол полной сферы.
+Берём дифференциал площади при постоянном \( \Omega \):
+
$$
−dS=2RdRΩ
+\mathrm{d}S = 2R\, \mathrm{d}R\, \Omega
$$
−Отсюда приращение радиуса(толщина сферы неизвестна)
+
+Отсюда получаем:
+
$$
−dR=\frac{dS}{2RΩ}
+\mathrm{d}R = \frac{\mathrm{d}S}{2R\Omega}
$$
−Сила на малую часть сферы:
+Сила на малую часть сферы определяется как:
$$
−dF=g*dm
+\mathrm{d}F = g\, \mathrm{d}m
$$
−Применив теорему Гаусса, получим поток напряжённости гравитационного поля:
+Согласно теореме Гаусса, поток гравитационного поля:
+
$$
−\oint gdS=-4πGM
+\oint g\, \mathrm{d}S = -4\pi G M
$$
+Из симметрии поля:
+
$$
−-4πR²g=-4πGM
+g \cdot 4\pi R^2 = -4\pi G M \quad \Rightarrow \quad g = -\frac{G M}{R^2}
$$
−Отсюда найдем напряжонность поля:
+(Знак минус означает, что поле направлено к центру.)
+Масса малого объема:
+
$$
−g=\frac{GM}{R²}
+\mathrm{d}m = \rho\, \mathrm{d}V
$$
−Масса малой части сферы:
+Дифференциал объема через радиус и площадь:
+
$$
−dm=ρdV
+\mathrm{d}V = 4\pi R^2\, \mathrm{d}R = \frac{R\, \mathrm{d}S}{2}
$$
−Производная объема, которую можно записать через производную площади:
+Подставим всё в исходное уравнение:
+
$$
−dV=4πR²dR=\frac{RdS}{2}
+\sigma\, \mathrm{d}S = \left( \frac{G M}{R^2} \right) \rho \left( \frac{R\, \mathrm{d}S}{2} \right)
$$
−Подставим силу в самое первое уравнение:
+Сокращаем \( \mathrm{d}S \) и упрощаем:
+
$$
−σdS=\frac{GM}{R²}ρ\frac{RdS}{2}
+\sigma = \frac{G M \rho}{2R}
$$
−Получим рабочую формулу механического напряжения:
+Подставляя значения, получаем:
$$
−σ=\frac{GMρ}{2R}
+\boxed{\sigma = 1{,}8 \cdot 10^{12}\ \text{Па}}
$$
−Подставив числа, получим:
−$$
−\boxed{σ=1.8*10¹²Па}
−$$
−
#### Ответ: $\sigma\approx 1,8 \cdot 10^{12}$ Па.