Решение

Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков:

$$F_0=E_\text{ост}q_0,$$

где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка.

Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать:

$$E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1}$$

где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы.

Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1].

Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна:

$$F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0,$$

или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы):

$$F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0.$$

Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

$$A_0=\frac{m_0v_\max^2}{2}-\frac{m_0v^2}{2},\tag{2}$$

где $A_0$ есть работа силы $F_0$ при удалении осколка очень далеко от центра начальной сферы.

Найдем работу $A_0$ интегрированием в пределах от начального радиуса $R$ сферы до бесконечности:

$$A_0=\int\limits_R^\infty F_0(r)\,dr=\frac{kqq_0}{2}\int\limits_R^\infty\frac{1}{r^2}\,dr=\left.-\frac{kqq_0}{2r}\right|_R^\infty=\frac{kqq_0}{2r}.$$

Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость:

$$v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}.$$

Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то

$$v_\max=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}.$$

Примечание: радиус $R$ в условии задачи не задан.