Правка раздела «Решение»
ru/7.4.29.md
+2 −0
| ### Условие | |||
| $7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков. | |||
| ### Решение | |||
| Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков: | |||
| $$ | |||
| F_0=E_\text{ост}q_0, | |||
| $$ | |||
| где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка. | |||
| Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать: | |||
| @@ -17,6 +17,7 @@Решение | |||
| $$ | |||
| E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1} | |||
| $$ | |||
| + | |||
| где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы. | |||
| Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1]. | |||
| Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна: | |||
| $$ | |||
| F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0, | |||
| $$ | |||
| или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы): | |||
| $$ | |||
| F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0. | |||
| $$ | |||
| Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: | |||
| @@ -38,6 +39,7 @@Решение | |||
| $$ | |||
| A_0=\frac{m_0v_\max^2}{2}-\frac{m_0v^2}{2},\tag{2} | |||
| $$ | |||
| + | |||
| где $A_0$ есть работа силы $F_0$ при удалении осколка очень далеко от центра начальной сферы. | |||
| Найдем работу $A_0$ интегрированием в пределах от начального радиуса $R$ сферы до бесконечности: | |||
| $$ | |||
| A_0=\int\limits_R^\infty F_0(r)\,dr=\frac{kqq_0}{2}\int\limits_R^\infty\frac{1}{r^2}\,dr=\left.-\frac{kqq_0}{2r}\right|_R^\infty=\frac{kqq_0}{2r}. | |||
| $$ | |||
| Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость: | |||
| $$ | |||
| v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}. | |||
| $$ | |||
| Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то | |||
| $$ | |||
| v_\max=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}. | |||
| $$ | |||
| Примечание: радиус $R$ в условии задачи не задан. | |||
| #### Литература | |||
| [1] С. А. Юрский. Проводящая сфера в задачах по электростатике. «Квант», 1983, №3. | |||
| #### Ответ: $v_\max=v\sqrt{1+\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}$. | |||
| ещё строк без изменений 24 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков. | $7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков: | Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков: | ||
| $$ | $$ | ||
| F_0=E_\text{ост}q_0, | F_0=E_\text{ост}q_0, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка. | где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка. | ||
| Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать: | Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать: | ||
| @@ -17,6 +17,7 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1} | E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы. | где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы. | ||
| Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1]. | Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1]. | ||
| Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна: | Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна: | ||
| $$ | $$ | ||
| F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0, | F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0, | ||
| $$ | $$ | ||
| или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы): | или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы): | ||
| $$ | $$ | ||
| F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0. | F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0. | ||
| $$ | $$ | ||
| Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: | Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: | ||
| @@ -38,6 +39,7 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| A_0=\frac{m_0v_\max^2}{2}-\frac{m_0v^2}{2},\tag{2} | A_0=\frac{m_0v_\max^2}{2}-\frac{m_0v^2}{2},\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $A_0$ есть работа силы $F_0$ при удалении осколка очень далеко от центра начальной сферы. | где $A_0$ есть работа силы $F_0$ при удалении осколка очень далеко от центра начальной сферы. | ||
| Найдем работу $A_0$ интегрированием в пределах от начального радиуса $R$ сферы до бесконечности: | Найдем работу $A_0$ интегрированием в пределах от начального радиуса $R$ сферы до бесконечности: | ||
| $$ | $$ | ||
| A_0=\int\limits_R^\infty F_0(r)\,dr=\frac{kqq_0}{2}\int\limits_R^\infty\frac{1}{r^2}\,dr=\left.-\frac{kqq_0}{2r}\right|_R^\infty=\frac{kqq_0}{2r}. | A_0=\int\limits_R^\infty F_0(r)\,dr=\frac{kqq_0}{2}\int\limits_R^\infty\frac{1}{r^2}\,dr=\left.-\frac{kqq_0}{2r}\right|_R^\infty=\frac{kqq_0}{2r}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость: | Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}. | v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то | Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то | ||
| $$ | $$ | ||
| v_\max=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}. | v_\max=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Примечание: радиус $R$ в условии задачи не задан. | Примечание: радиус $R$ в условии задачи не задан. | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] С. А. Юрский. Проводящая сфера в задачах по электростатике. «Квант», 1983, №3. | [1] С. А. Юрский. Проводящая сфера в задачах по электростатике. «Квант», 1983, №3. | ||
| #### Ответ: $v_\max=v\sqrt{1+\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}$. | #### Ответ: $v_\max=v\sqrt{1+\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mRv^2}}$. | ||
| ещё строк без изменений 24 | |||