Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Shrodinger_cat правка от
Посмотреть решение История
правка #13479 предыдущая #13478 ← раньше позже →
ru/13.5.6.md +60 −8
@@ -1,13 +1,65 @@
### Условие
−$13.5.6.$ [Вставьте условие задачи]
−
−### Решение
−
−Атомы, летящие со скоростью v, испускают в направлении своего
−движения фотоны с частотой ν. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном
+$13.5.6.^*$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего
+движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном
направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома
+### Решение
+Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома:
+$$
+\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)}{2} + h\nu
+$$
+$$
+mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c}
+$$
+Аналогично запишем для испускания в противоположное направление:
+$$
+\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')}{2} + h\nu'
+$$
+$$
+mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c}
+$$
+Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$:
+$$
+\Delta v = \frac{h\nu}{mc}
+$$
+$$
+\Delta v' = \frac{h\nu'}{mc}
+$$
+Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим:
+$$
+\varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c})
+$$
+$$
+\varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c})
+$$
+И получим окончательный ответ:
+$$
+\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu
+$$
+Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая:
+$$
+\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu''
+$$
+$$
+(mv)^2 = (mv_1)^2 - (\frac{h\nu}{c})^2
+$$
+Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим:
+$$
+\varepsilon = h\nu''(1 + \frac{h\nu}{2mc^2})
+$$
+Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то:
+$$
+\varepsilon = h\nu''
+$$
+Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим:
+$$
+\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})
+$$
#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu
+$$
+$$
+\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})
+$$