Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от 15 апр. 2025 г., 05:27

правка #14276 предыдущая #13496 ← раньше

ru/13.5.6.md +36 −10

		@@ -1,67 +1,93 @@
			### Условие

		−	$13.5.6.^*$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего
		−	~~движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а~~) противоположном направлению движения атомов; ~~б) перпендикулярном~~
		−	направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома
		+	$13.5.6^*.$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении:
		+	а) противоположном направлению движения атомов;
		+	б) перпендикулярном направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома

			### Решение
		+
			Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома:
		+
			$$
			\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu
			$$
		+
			$$
			mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c}
			$$
		+
			Аналогично запишем для испускания в противоположное направление:
		+
			$$
			\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu'
			$$
		+
			$$
			mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c}
			$$
		+
			Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$:
		+
			$$
			\Delta v = \frac{h\nu}{mc}
			$$
		+
			$$
			\Delta v' = \frac{h\nu'}{mc}
			$$
		+
			Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим:
		+
			$$
		−	\varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c})
		+	\varepsilon = h\nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)
			$$
		+
			$$
		−	\varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c})
		+	\varepsilon = h\nu'\left(1 + \frac{v}{c}\right)
			$$
		+
			И получим окончательный ответ:
		+
			$$
			\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu
			$$
		+
			Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая:
		+
			$$
			\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu''
			$$
		+
			$$
		−	(mv)^2 = (mv_1)^2 + (\frac{h\nu''}{c})^2
		+	(mv)^2 = (mv_1)^2 + \left(\frac{h\nu''}{c}\right)^2
			$$
		−	Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим:
		+
		+	Выражая из уравнения для импульса $v_1$, получим:
		+
			$$
		−	\varepsilon = h\nu''(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2})
		+	\varepsilon = h\nu''\left(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2}\right)
			$$
		+
			Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то:
		+
			$$
			\varepsilon = h\nu''
			$$
		+
			Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим:
		+
			$$
		−	\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})
		+	\nu'' = \nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)
			$$

			Необходимо отметить, что данное решение сделано с точки зрения классическое механики, хотя строго её надо решать с позиций релятивиской механики. Но ответ, приведенный здесь, совпадёт с релятивиским. :)
		+
			#### Ответ
		+
			$$
			\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu
			$$
		+
			$$
		−	\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})
		+	\nu'' = \nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)
			$$

	@@ -1,67 +1,93 @@
	### Условие		### Условие

	$13.5.6.^*$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего		$13.5.6^*.$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении:
	~~движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а~~) противоположном направлению движения атомов; ~~б) перпендикулярном~~		а) противоположном направлению движения атомов;
	направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома		б) перпендикулярном направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома

	### Решение		### Решение

	Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома:		Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu		\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu
	$$		$$

	$$		$$
	mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c}		mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c}
	$$		$$

	Аналогично запишем для испускания в противоположное направление:		Аналогично запишем для испускания в противоположное направление:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu'		\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu'
	$$		$$

	$$		$$
	mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c}		mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c}
	$$		$$

	Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$:		Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$:

	$$		$$
	\Delta v = \frac{h\nu}{mc}		\Delta v = \frac{h\nu}{mc}
	$$		$$

	$$		$$
	\Delta v' = \frac{h\nu'}{mc}		\Delta v' = \frac{h\nu'}{mc}
	$$		$$

	Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим:		Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим:

	$$		$$
	\varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c})		\varepsilon = h\nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)
	$$		$$

	$$		$$
	\varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c})		\varepsilon = h\nu'\left(1 + \frac{v}{c}\right)
	$$		$$

	И получим окончательный ответ:		И получим окончательный ответ:

	$$		$$
	\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu		\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu
	$$		$$

	Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая:		Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu''		\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu''
	$$		$$

	$$		$$
	(mv)^2 = (mv_1)^2 + (\frac{h\nu''}{c})^2		(mv)^2 = (mv_1)^2 + \left(\frac{h\nu''}{c}\right)^2
	$$		$$
	Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим:
			Выражая из уравнения для импульса $v_1$, получим:

	$$		$$
	\varepsilon = h\nu''(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2})		\varepsilon = h\nu''\left(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2}\right)
	$$		$$

	Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то:		Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то:

	$$		$$
	\varepsilon = h\nu''		\varepsilon = h\nu''
	$$		$$

	Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим:		Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим:

	$$		$$
	\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})		\nu'' = \nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)
	$$		$$

	Необходимо отметить, что данное решение сделано с точки зрения классическое механики, хотя строго её надо решать с позиций релятивиской механики. Но ответ, приведенный здесь, совпадёт с релятивиским. :)		Необходимо отметить, что данное решение сделано с точки зрения классическое механики, хотя строго её надо решать с позиций релятивиской механики. Но ответ, приведенный здесь, совпадёт с релятивиским. :)

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu		\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu
	$$		$$

	$$		$$
	\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})		\nu'' = \nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)
	$$		$$