$3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$?
Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$:
$$
-ky=m\ddot{y}.
$$
Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону:
$$
y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right).
$$
По оси $X$ движение частицы равномерное:
$$
x=v_0t.
$$
Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$:
#### Ответ: Частицы собираются на расстояниях $x_f=\pi\left(\dfrac12+n\right)\sqrt{\dfrac{m\strut}{k}}v_0,$ где $n=0,1,2,\ldots$
+
#### Ответ: частицы собираются на расстояниях $x_f=\pi\left(\dfrac12+n\right)\sqrt{\dfrac{m\strut}{k}}v_0,$ где $n=0,1,2,\ldots$
### Условие
### Условие
$3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$?
$3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$?
Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$:
Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$:
$$
$$
-ky=m\ddot{y}.
-ky=m\ddot{y}.
$$
$$
Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону:
Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону:
$$
$$
y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right).
y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right).
$$
$$
По оси $X$ движение частицы равномерное:
По оси $X$ движение частицы равномерное:
$$
$$
x=v_0t.
x=v_0t.
$$
$$
Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$:
Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$:
