| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$? | | $3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$: | | Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| -ky=m\ddot{y}. | | -ky=m\ddot{y}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$ [1]. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону: | | Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$ [1]. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right). | | y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По оси $X$ движение частицы равномерное: | | По оси $X$ движение частицы равномерное: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x=v_0t. | | x=v_0t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$: | | Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x}{v_0}\right). | | y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x}{v_0}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Координаты $x_f$ на оси $X$, при которых частица оказывается на этой оси ($y=0$), должны удовлетворять, конечно, равенству: | | Координаты $x_f$ на оси $X$, при которых частица оказывается на этой оси ($y=0$), должны удовлетворять, конечно, равенству: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 0=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right), | | 0=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| или: | | или: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 0=\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right). | | 0=\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Таким образом мы доказали, что при данных начальных условиях координата $x_f$ в общем случае не зависит от начального положения частицы на оси $Y$. | | Таким образом мы доказали, что при данных начальных условиях координата $x_f$ в общем случае не зависит от начального положения частицы на оси $Y$. |
| | | |
| Найдем все возможные значения $x_f$. Из предыдущего уравнения имеем: | | Найдем все возможные значения $x_f$. Из предыдущего уравнения имеем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}=\frac\pi2+\pi n \quad (n=0,1,2,\ldots). | | \sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}=\frac\pi2+\pi n \quad (n=0,1,2,\ldots). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| То есть: | | То есть: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0 \quad (n=0,1,2,\ldots). | | x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0 \quad (n=0,1,2,\ldots). |
| $$ | | $$ |