Решение

Выскакивание происходит при резонансе. Резонанс наступает, когда частота действия вынуждающей силы (от стенок бороздки) совпадает с собственной частотой системы (иглы). Это утверждение верно и в терминах периодов.

Пусть искомая скорость обозначена $v$. Период $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}$ собственных колебаний должен быть равен времени $\dfrac{\lambda}{v}$, через которое повторяется действие вынуждающей силы (это ее период). Тогда:

$$T_0=\frac{\lambda}{v}\quad \text{или}\quad \frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{\lambda}{v}.$$

Отсюда:

$$v=\frac{\lambda\omega_0}{2\pi}.$$