Решение

Уголь до погрузки покоился относительно земли, то есть его начальная скорость была $\upsilon_{0}=0$. После засыпки уголь приобретает скорость $u$, равную скорости поезда. Изменение импульса угля:

$$\Delta p=mu-0=mu$$

Сила, приложенная к углю для его разгона, передается от вагона, а следовательно, и от локомотива. Это значит, что двигатель локомотива должен совершить дополнительную работу.

После засыпки уголь начинает двигаться со скоростью $u$, поэтому его кинетическая энергия становится:

$$E_{кин}=\frac{1}{2}mu^{2}$$

Работа $A$, совершаемая локомотивом для разгона угля, выражается через силу и пройденный путь:

$$A=F \cdot s$$

Используя второй закон Ньютона, запишем:

$$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{mu}{\Delta t}$$

Так как путь, пройденный углем во время разгона, равен $s=u \cdot \Delta t$, работа локомотива:

$$A=F \cdot s=\left( \frac{mu}{\Delta t} \right) \cdot u \Delta t=mu^{2}$$

Видно, что работа локомотива вдвое больше, чем кинетическая энергия угля. Дело в том, что при погрузке угля в системе присутствуют потери энергии, связанные с перераспределением импульса между камнями угля при падении в вагон, трением и неупругими ударами угля о вагон., то есть эта энергия идёт на увеличение внутренней энергии системы вагон-уголь.