Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 21 мар. 2025 г., 09:16

правка #13710 предыдущая #13709 ← раньше позже →

ru/4.1.18.md +31 −3

		@@ -1,11 +1,39 @@
			### Условие

		−	$4.1.18.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$4.1.18.$ Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.

			### Решение

		−	апв
		+	Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.

		+	В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:
		+
		+	$$U_{1}=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}$$
		+
		+	Аналогично во втором сосуде:
		+
		+	$$U_{2}=\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$
		+
		+	Суммарная потенциальная энергия жидкости:
		+
		+	$$U\left( h_{1},h_{2} \right)=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}+\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$
		+
		+	Объём жидкости постоянен, поэтому:
		+
		+	$$S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}=const$$
		+
		+	Используем метод множителей Лагранжа для нахождения экстремума функции $U\left( h_{1},h_{2} \right)$ при заданном ограничении. Функция Лагранжа:
		+
		+	$$L=\frac{1}{2}\rho g\left( S_{1}h_{1}^{2}+S_{2}h_{2}^{2} \right)+\lambda\left( S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}-const \right)$$
		+
		+	Приравниваем частные производные к нулю:
		+
		+	$$\frac{\partial L}{\partial h_{1}}=\rho gS_{1}h_{1}+\lambda S_{1}=0$$
		+	$$\frac{\partial L}{\partial h_{2}}=\rho gS_{2}h_{2}+\lambda S_{2}=0$$
		+
		+	Упраздняя, получим:
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$U\left( h_{1},h_{2} \right)$ минимальна при $h_{1}=h_{2}$

	@@ -1,11 +1,39 @@
	### Условие		### Условие

	$4.1.18.$ [Вставьте условие задачи]		$4.1.18.$ Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.

	### Решение		### Решение

	апв		Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.

			В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:

			$$U_{1}=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}$$

			Аналогично во втором сосуде:

			$$U_{2}=\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$

			Суммарная потенциальная энергия жидкости:

			$$U\left( h_{1},h_{2} \right)=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}+\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$

			Объём жидкости постоянен, поэтому:

			$$S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}=const$$

			Используем метод множителей Лагранжа для нахождения экстремума функции $U\left( h_{1},h_{2} \right)$ при заданном ограничении. Функция Лагранжа:

			$$L=\frac{1}{2}\rho g\left( S_{1}h_{1}^{2}+S_{2}h_{2}^{2} \right)+\lambda\left( S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}-const \right)$$

			Приравниваем частные производные к нулю:

			$$\frac{\partial L}{\partial h_{1}}=\rho gS_{1}h_{1}+\lambda S_{1}=0$$
			$$\frac{\partial L}{\partial h_{2}}=\rho gS_{2}h_{2}+\lambda S_{2}=0$$

			Упраздняя, получим:


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$U\left( h_{1},h_{2} \right)$ минимальна при $h_{1}=h_{2}$