$4.1.23.$ Закрытый цилиндр радиуса $R$, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности $\rho$, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра?
Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид:
$$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$
где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде:
$$\frac{dP}{dr}=\rho\omega^{2}r$$
Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$.
Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$
Так изменяется давление в зависимости от расстояния от оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$:
+
Так изменяется давление в зависимости от расстояния до оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$:
$4.1.23.$ Закрытый цилиндр радиуса $R$, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности $\rho$, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра?
$4.1.23.$ Закрытый цилиндр радиуса $R$, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности $\rho$, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра?
Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид:
Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид:
$$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$
$$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$
где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде:
где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде:
$$\frac{dP}{dr}=\rho\omega^{2}r$$
$$\frac{dP}{dr}=\rho\omega^{2}r$$
Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$.
Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$.
Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$
Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$
Так изменяется давление в зависимости от расстояния от оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$:
Так изменяется давление в зависимости от расстояния до оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$:
