| Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид: | | Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид: |
| | | |
| $$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$ | | $$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$ |
| | | |
| где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде: | | где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде: |
| | | |
| $$\frac{dP}{dr}=\rho \omega^{2}r$$ | | $$\frac{dP}{dr}=\rho \omega^{2}r$$ |
| | | |
| Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$. | | Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$. |
| | | |
| $$V_{ц}-V_{п}=V_{ж}$$ | | $$V_{ц}-V_{п}=V_{ж}$$ |
| | | |
| $$\pi R^{2}H-\pi r_{0}^{2}H=\frac{3}{4}\pi R^{2}H$$ | | $$\pi R^{2}H-\pi r_{0}^{2}H=\frac{3}{4}\pi R^{2}H$$ |
| | | |
| $$R^{2}-r_{0}^{2}=\frac{3}{4}R^{2}\Rightarrow r_{0}=\frac{R}{2}$$ | | $$R^{2}-r_{0}^{2}=\frac{3}{4}R^{2}\Rightarrow r_{0}=\frac{R}{2}$$ |
| | | |
| Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$ | | Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$ |
| | | |
| $$\int_{P(r_{0})}^{P(r)}dP=\rho \omega^{2}\int_{r_{0}}^{r_{0}+r}rdr$$ | | $$\int_{P(r_{0})}^{P(r)}dP=\rho \omega^{2}\int_{r_{0}}^{r_{0}+r}rdr$$ |
| | | |
| $$P(r)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( r_{0}+r \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ | | $$P(r)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( r_{0}+r \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ |
| | | |
| Так изменяется давление в зависимости от расстояния до оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния до боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$: | | Так изменяется давление в зависимости от расстояния до оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния до боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$: |
| | | |
| $$R-(r_{0}+r)=x$$ | | $$R-(r_{0}+r)=x$$ |
| | | |
| $$r=R-r_{0}-x$$ | | $$r=R-r_{0}-x$$ |
| | | |
| Подставим $r$ в уравнение для давления: | | Подставим $r$ в уравнение для давления: |
| | | |
| $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ | | $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ |
| | | |
| Теперь подставим значение $r_{0}=\frac{R}{2}$ и окончательно получим: | | Теперь подставим значение $r_{0}=\frac{R}{2}$ и окончательно получим: |
| | | |
| $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$$ | | $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$ | | $P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$ |
