Решение

Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести:

$$d\overrightarrow{F}=dm\omega^{2}\overrightarrow{x} + dm\overrightarrow{g}$$

В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d\overrightarrow{F}=dP \cdot \overrightarrow{S}$. Перепишем это векторное уравнения в проекциях на координатные оси для единицы объёма:

$$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$
$$\frac{dP}{dy}=\rho g$$

Проинтегрируем:

$$P(x)+C_{1}=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$
$$P(y)+C_{2}=\rho gy$$

где $C_{1}$ и $C_{2}$ - константы интегрирования. Для свободной поверхности давление в каждой точке одинаково:

$$P(x)+C_{1}=P(y)+C_{2}$$

Отсюда:

$$\rho gy=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$
$$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$