Правка раздела «Решение»

emixter правка от 23 мар. 2025 г., 12:30

правка #13751 предыдущая #13750 ← раньше позже →

ru/4.1.24.md +14 −1

			### Условие

			$4.1.24.$ Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$.

			### Решение

			Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести:

			$$d\overrightarrow{F}=dm\omega^{2}\overrightarrow{x} + dm\overrightarrow{g}$$

			В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d\overrightarrow{F}=dP \cdot \overrightarrow{S}$. Перепишем это векторное уравнения в проекциях на координатные оси для единицы объёма:

		@@ -13,8 +13,21 @@Решение
			$$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$
			$$\frac{dP}{dy}=\rho g$$

		−	Проинтегрируем
		+	Проинтегрируем:
		+
		+	$$P(x)+C_{1}=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$
		+	$$P(y)+C_{2}=\rho gy$$
		+
		+	где $C_{1}$ и $C_{2}$ - константы интегрирования. Для свободной поверхности давление в каждой точке одинаково:
		+
		+	$$P(x)+C_{1}=P(y)+C_{2}$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$\rho gy=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$
		+	$$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$
		+

			#### Ответ

			$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$

	### Условие		### Условие

	$4.1.24.$ Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$.		$4.1.24.$ Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$.

	### Решение		### Решение

	Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести:		Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести:

	$$d\overrightarrow{F}=dm\omega^{2}\overrightarrow{x} + dm\overrightarrow{g}$$		$$d\overrightarrow{F}=dm\omega^{2}\overrightarrow{x} + dm\overrightarrow{g}$$

	В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d\overrightarrow{F}=dP \cdot \overrightarrow{S}$. Перепишем это векторное уравнения в проекциях на координатные оси для единицы объёма:		В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d\overrightarrow{F}=dP \cdot \overrightarrow{S}$. Перепишем это векторное уравнения в проекциях на координатные оси для единицы объёма:

	@@ -13,8 +13,21 @@Решение
	$$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$		$$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$
	$$\frac{dP}{dy}=\rho g$$		$$\frac{dP}{dy}=\rho g$$

	Проинтегрируем		Проинтегрируем:

			$$P(x)+C_{1}=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$
			$$P(y)+C_{2}=\rho gy$$

			где $C_{1}$ и $C_{2}$ - константы интегрирования. Для свободной поверхности давление в каждой точке одинаково:

			$$P(x)+C_{1}=P(y)+C_{2}$$

			Отсюда:

			$$\rho gy=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$
			$$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$


	#### Ответ		#### Ответ

	$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$		$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$