Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/4.1.24.md
+6 −6
| ### Условие | |||
| $4.1.24.$ Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. | |||
| ### Решение | |||
| @@ -6,16 +6,18 @@Решение | |||
| Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести: | |||
| − | $$d | ||
| + | $$d\vec{F}=dm\omega^{2}\vec{x} + dm\vec{g}$$ | ||
| − | В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d | ||
| + | В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d\vec{F}=dP \cdot \vec{S}$. Перепишем это векторное уравнения в проекциях на координатные оси для единицы объёма: | ||
| $$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$ | |||
| + | |||
| $$\frac{dP}{dy}=\rho g$$ | |||
| Проинтегрируем: | |||
| $$P(x)+C_{1}=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$ | |||
| + | |||
| $$P(y)+C_{2}=\rho gy$$ | |||
| где $C_{1}$ и $C_{2}$ - константы интегрирования. Для свободной поверхности давление в каждой точке одинаково: | |||
| $$P(x)+C_{1}=P(y)+C_{2}$$ | |||
| @@ -25,9 +27,7 @@Решение | |||
| Отсюда: | |||
| $$\rho gy=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$ | |||
| + | |||
| $$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$ | |||
| − | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | $y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$ | ||
| + | #### Ответ: $y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$ | ||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.1.24.$ Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. | $4.1.24.$ Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| @@ -6,16 +6,18 @@Решение | |||
| Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести: | Выберем систему координат, в которой будем искать форму поверхности, таким образом, что начало координат будет находится в центре дна цилиндрического стакана, ось $X$ направим вдоль дна к боковой поверхности, а ось $Y$ направим вдоль оси вращения. На каждый элементарный объём жидкости, находящийся на расстоянии $x$ до оси вращения, будет действовать центробежная сила и сила тяжести: | ||
| $$d |
$$d\vec{F}=dm\omega^{2}\vec{x} + dm\vec{g}$$ | ||
| В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d |
В состоянии равновесия эта результирующая сила будет уравновешиваться силой давления окружающей жидкости: $d\vec{F}=dP \cdot \vec{S}$. Перепишем это векторное уравнения в проекциях на координатные оси для единицы объёма: | ||
| $$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$ | $$\frac{dP}{dx}=\rho\omega^{2}x$$ | ||
| $$\frac{dP}{dy}=\rho g$$ | $$\frac{dP}{dy}=\rho g$$ | ||
| Проинтегрируем: | Проинтегрируем: | ||
| $$P(x)+C_{1}=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$ | $$P(x)+C_{1}=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$ | ||
| $$P(y)+C_{2}=\rho gy$$ | $$P(y)+C_{2}=\rho gy$$ | ||
| где $C_{1}$ и $C_{2}$ - константы интегрирования. Для свободной поверхности давление в каждой точке одинаково: | где $C_{1}$ и $C_{2}$ - константы интегрирования. Для свободной поверхности давление в каждой точке одинаково: | ||
| $$P(x)+C_{1}=P(y)+C_{2}$$ | $$P(x)+C_{1}=P(y)+C_{2}$$ | ||
| @@ -25,9 +27,7 @@Решение | |||
| Отсюда: | Отсюда: | ||
| $$\rho gy=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$ | $$\rho gy=\frac{\rho \omega^{2}}{2}x^{2}$$ | ||
| $$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$ | $$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$ | ||
| #### Ответ: $y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$ | |||
| #### Ответ | |||
| $y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$ | |||