Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/4.3.20.md
+28 −3
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.3.20.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $4.3.20.$ В жидкости плотности $\rho$ образовалась сферическая полость радиуса $R$. Давление в жидкости $P$. Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения $r$? | ||
| ### Решение | |||
| − | fdg | ||
| + | Так как объем жидкости достаточно большой, то форма его внешней границы никак не будет влиять на поведение образовавшейся полости. Поэтому для упрощения расчетов будем считать внешнюю границу сферической с центром кривизны в центре образовавшейся полости. Образование полости приведет к движению жидкости и соответственно к перераспределению давления в ней, но давление на удаленной внешней границе никак не изменится. При изменении радиуса полости от $R$ до $r$ ее объем изменится на: | ||
| + | $$\Delta V=\frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | В силу несжимаемости жидкости ровно на столько же уменьшится видимый объем жидкости по внешней границе. Так как изменение объема по внешней границе происходит при постоянном давлении, то работа сил давления: | ||
| + | |||
| + | $$A=P\cdot \Delta V=P\cdot \frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Эта работа идет на сообщение кинетической энергии всем частицам сферического объема жидкости. Для расчета кинетической энергии разобьем весь объем жидкости на тонкие шаровые слои радиусом $\xi$ и толщиной $d\xi$. Тогда энергия воды такого слоя: | ||
| + | |||
| + | $$dE=\frac{1}{2}\rho \cdot 4\pi\xi^{2}d\xi \cdot \upsilon^{2}(\xi)$$ | ||
| + | |||
| + | где $\upsilon(\xi)$ – скорость движения всех частиц воды тонкого шарового слоя радиусом $\xi$. Эта скорость различна для разных значений $\xi$, но её в силу уравнения неразрывности можно связать со скоростью движения границы полости $\upsilon_{r}$: | ||
| + | |||
| + | $$4\pi r^{2}\upsilon_{r}=4\pi\xi^{2}\upsilon^{2}(\xi)$$ | ||
| + | |||
| + | Откуда находим | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon(\xi)=\upsilon_{r}\frac{r^{2}}{\xi^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим это выражение в формулу для энергии: | ||
| + | |||
| + | $$dE=\frac{1}{2}\rho \cdot 4\pi\xi^{2}d\xi \cdot \upsilon_{r}^{2}\frac{r^{4}}{\xi^{4}}=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{4}\frac{d\xi}{\xi^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$v=\sqrt{\frac{2}{3}\frac{P}{\rho}\left( \frac{R^{3}}{r^{3}}-1 \right)}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.3.20.$ [Вставьте условие задачи] | $4.3.20.$ В жидкости плотности $\rho$ образовалась сферическая полость радиуса $R$. Давление в жидкости $P$. Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения $r$? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| fdg | Так как объем жидкости достаточно большой, то форма его внешней границы никак не будет влиять на поведение образовавшейся полости. Поэтому для упрощения расчетов будем считать внешнюю границу сферической с центром кривизны в центре образовавшейся полости. Образование полости приведет к движению жидкости и соответственно к перераспределению давления в ней, но давление на удаленной внешней границе никак не изменится. При изменении радиуса полости от $R$ до $r$ ее объем изменится на: | ||
| $$\Delta V=\frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)$$ | |||
| В силу несжимаемости жидкости ровно на столько же уменьшится видимый объем жидкости по внешней границе. Так как изменение объема по внешней границе происходит при постоянном давлении, то работа сил давления: | |||
| $$A=P\cdot \Delta V=P\cdot \frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)$$ | |||
| Эта работа идет на сообщение кинетической энергии всем частицам сферического объема жидкости. Для расчета кинетической энергии разобьем весь объем жидкости на тонкие шаровые слои радиусом $\xi$ и толщиной $d\xi$. Тогда энергия воды такого слоя: | |||
| $$dE=\frac{1}{2}\rho \cdot 4\pi\xi^{2}d\xi \cdot \upsilon^{2}(\xi)$$ | |||
| где $\upsilon(\xi)$ – скорость движения всех частиц воды тонкого шарового слоя радиусом $\xi$. Эта скорость различна для разных значений $\xi$, но её в силу уравнения неразрывности можно связать со скоростью движения границы полости $\upsilon_{r}$: | |||
| $$4\pi r^{2}\upsilon_{r}=4\pi\xi^{2}\upsilon^{2}(\xi)$$ | |||
| Откуда находим | |||
| $$\upsilon(\xi)=\upsilon_{r}\frac{r^{2}}{\xi^{2}}$$ | |||
| Подставим это выражение в формулу для энергии: | |||
| $$dE=\frac{1}{2}\rho \cdot 4\pi\xi^{2}d\xi \cdot \upsilon_{r}^{2}\frac{r^{4}}{\xi^{4}}=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{4}\frac{d\xi}{\xi^{2}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$v=\sqrt{\frac{2}{3}\frac{P}{\rho}\left( \frac{R^{3}}{r^{3}}-1 \right)}$$ | ||