$4.3.20.$ В жидкости плотности $\rho$ образовалась сферическая полость радиуса $R$. Давление в жидкости $P$. Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения $r$?
### Решение
Так как объем жидкости достаточно большой, то форма его внешней границы никак не будет влиять на поведение образовавшейся полости. Поэтому для упрощения расчетов будем считать внешнюю границу сферической с центром кривизны в центре образовавшейся полости. Образование полости приведет к движению жидкости и соответственно к перераспределению давления в ней, но давление на удаленной внешней границе никак не изменится. При изменении радиуса полости от $R$ до $r$ ее объем изменится на:
В силу несжимаемости жидкости ровно на столько же уменьшится видимый объем жидкости по внешней границе. Так как изменение объема по внешней границе происходит при постоянном давлении, то работа сил давления:
Эта работа идет на сообщение кинетической энергии всем частицам сферического объема жидкости. Для расчета кинетической энергии разобьем весь объем жидкости на тонкие шаровые слои радиусом $\xi$ и толщиной $d\xi$. Тогда энергия воды такого слоя:
где $\upsilon(\xi)$ – скорость движения всех частиц воды тонкого шарового слоя радиусом $\xi$. Эта скорость различна для разных значений $\xi$, но её в силу уравнения неразрывности можно связать со скоростью движения границы полости $\upsilon_{r}$:
$4.3.20.$ В жидкости плотности $\rho$ образовалась сферическая полость радиуса $R$. Давление в жидкости $P$. Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения $r$?
$4.3.20.$ В жидкости плотности $\rho$ образовалась сферическая полость радиуса $R$. Давление в жидкости $P$. Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения $r$?
### Решение
### Решение
Так как объем жидкости достаточно большой, то форма его внешней границы никак не будет влиять на поведение образовавшейся полости. Поэтому для упрощения расчетов будем считать внешнюю границу сферической с центром кривизны в центре образовавшейся полости. Образование полости приведет к движению жидкости и соответственно к перераспределению давления в ней, но давление на удаленной внешней границе никак не изменится. При изменении радиуса полости от $R$ до $r$ ее объем изменится на:
Так как объем жидкости достаточно большой, то форма его внешней границы никак не будет влиять на поведение образовавшейся полости. Поэтому для упрощения расчетов будем считать внешнюю границу сферической с центром кривизны в центре образовавшейся полости. Образование полости приведет к движению жидкости и соответственно к перераспределению давления в ней, но давление на удаленной внешней границе никак не изменится. При изменении радиуса полости от $R$ до $r$ ее объем изменится на:
В силу несжимаемости жидкости ровно на столько же уменьшится видимый объем жидкости по внешней границе. Так как изменение объема по внешней границе происходит при постоянном давлении, то работа сил давления:
В силу несжимаемости жидкости ровно на столько же уменьшится видимый объем жидкости по внешней границе. Так как изменение объема по внешней границе происходит при постоянном давлении, то работа сил давления:
Эта работа идет на сообщение кинетической энергии всем частицам сферического объема жидкости. Для расчета кинетической энергии разобьем весь объем жидкости на тонкие шаровые слои радиусом $\xi$ и толщиной $d\xi$. Тогда энергия воды такого слоя:
Эта работа идет на сообщение кинетической энергии всем частицам сферического объема жидкости. Для расчета кинетической энергии разобьем весь объем жидкости на тонкие шаровые слои радиусом $\xi$ и толщиной $d\xi$. Тогда энергия воды такого слоя:
где $\upsilon(\xi)$ – скорость движения всех частиц воды тонкого шарового слоя радиусом $\xi$. Эта скорость различна для разных значений $\xi$, но её в силу уравнения неразрывности можно связать со скоростью движения границы полости $\upsilon_{r}$:
где $\upsilon(\xi)$ – скорость движения всех частиц воды тонкого шарового слоя радиусом $\xi$. Эта скорость различна для разных значений $\xi$, но её в силу уравнения неразрывности можно связать со скоростью движения границы полости $\upsilon_{r}$:
