Решение

Так как объем жидкости достаточно большой, то форма его внешней границы никак не будет влиять на поведение образовавшейся полости. Поэтому для упрощения расчетов будем считать внешнюю границу сферической с центром кривизны в центре образовавшейся полости. Образование полости приведет к движению жидкости и соответственно к перераспределению давления в ней, но давление на удаленной внешней границе никак не изменится. При изменении радиуса полости от $R$ до $r$ ее объем изменится на:

$$\Delta V=\frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)$$

В силу несжимаемости жидкости ровно на столько же уменьшится видимый объем жидкости по внешней границе. Так как изменение объема по внешней границе происходит при постоянном давлении, то работа сил давления:

$$A=P\cdot \Delta V=P\cdot \frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)$$

Эта работа идет на сообщение кинетической энергии всем частицам сферического объема жидкости. Для расчета кинетической энергии разобьем весь объем жидкости на тонкие шаровые слои радиусом $\xi$ и толщиной $d\xi$. Тогда энергия воды такого слоя:

$$dE=\frac{1}{2}\rho \cdot 4\pi\xi^{2}d\xi \cdot \upsilon^{2}(\xi)$$

где $\upsilon(\xi)$ – скорость движения всех частиц воды тонкого шарового слоя радиусом $\xi$. Эта скорость различна для разных значений $\xi$, но её в силу уравнения неразрывности можно связать со скоростью движения границы полости $\upsilon_{r}$:

$$4\pi r^{2}\upsilon_{r}=4\pi\xi^{2}\upsilon^{2}(\xi)$$

Откуда находим

$$\upsilon(\xi)=\upsilon_{r}\frac{r^{2}}{\xi^{2}}$$

Подставим это выражение в формулу для энергии:

$$dE=\frac{1}{2}\rho \cdot 4\pi\xi^{2}d\xi \cdot \upsilon_{r}^{2}\frac{r^{4}}{\xi^{4}}=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{4}\frac{d\xi}{\xi^{2}}$$

Проинтегрируем по $\xi$ от $r$ до бесконечности, поскольку считаем, что объём жидкости очень большой:

$$E=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{4}\int_{r}^{\infty }\frac{d\xi}{\xi^{2}}=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{4} \cdot \frac{1}{r}=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{3}$$

Приравняем теперь работу сил давления кинетической энергии всех частиц жидкости:

$$P\cdot \frac{4}{3}\pi \left( R^{3}-r^{3} \right)=2\pi\rho\upsilon_{r}^{2}r^{3}$$

Отсюда выражаем $\upsilon_{r}$:

$$\upsilon_{r}=\sqrt{\frac{2}{3}\frac{P}{\rho}\left( \frac{R^{3}}{r^{3}}-1 \right)}$$