Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 28 мар. 2025 г., 22:53

правка #13861 предыдущая #13860 ← раньше позже →

ru/4.4.1.md +33 −3

		@@ -1,11 +1,41 @@
			### Условие

		−	$4.4.1.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$4.4.1.$ Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено жидкостью вязкости $\eta$. Одна из плоскостей движется со скоростью $\upsilon_{0}$, другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Расстояние между плоскостями $h$.

			### Решение

		−	вав
		+	При данном течении жидкости можно использовать уравнение Навье-Стокса в стационарном режиме. Предполагаем, что течение установившееся, ламинарное и происходит вдоль оси $x$ (горизонтальное направление). Также считаем, что давление постоянно и не зависит от $y$. Тогда основное уравнение движения для вязкой жидкости в одномерном случае упрощается до уравнения:

		+	$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dy^{2}}=0$$
		+
		+	Интегрируем дважды:
		+
		+	$$\frac{d\upsilon}{dy}=C_{1} \text{, } \upsilon(y)=C_{1}y+C_{2}$$
		+
		+	Используем граничные условия:
		+
		+	$\to \upsilon(0)=0$ (нижняя плоскость неподвижна),
		+
		+	$\to \upsilon(h)=\upsilon_{0}$ (верхняя плоскость движется со скоростью $\upsilon_{0}$).
		+
		+	Подставляя $y=0$: $0=C_{1}\cdot 0+C_{2}\Rightarrow C_{2}=0$
		+
		+	Подставляя $y=h$: $\upsilon_{0}=C_{1}\cdot h\Rightarrow C_{1}=\frac{\upsilon_{0}}{h}$
		+
		+	Таким образом, распределение скорости имеет вид:
		+
		+	$$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y$$
		+
		+	По определению сила вязкого трения $F$ на единицу площади каждой из плоскостей:
		+
		+	$$F=\eta\frac{d\upsilon}{dy}$$
		+
		+	Подставляя найденное распределение скорости:
		+
		+	$$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y \text{, }0\lt y\lt h$
		+
		+	$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$

	@@ -1,11 +1,41 @@
	### Условие		### Условие

	$4.4.1.$ [Вставьте условие задачи]		$4.4.1.$ Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено жидкостью вязкости $\eta$. Одна из плоскостей движется со скоростью $\upsilon_{0}$, другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Расстояние между плоскостями $h$.

	### Решение		### Решение

	вав		При данном течении жидкости можно использовать уравнение Навье-Стокса в стационарном режиме. Предполагаем, что течение установившееся, ламинарное и происходит вдоль оси $x$ (горизонтальное направление). Также считаем, что давление постоянно и не зависит от $y$. Тогда основное уравнение движения для вязкой жидкости в одномерном случае упрощается до уравнения:

			$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dy^{2}}=0$$

			Интегрируем дважды:

			$$\frac{d\upsilon}{dy}=C_{1} \text{, } \upsilon(y)=C_{1}y+C_{2}$$

			Используем граничные условия:

			$\to \upsilon(0)=0$ (нижняя плоскость неподвижна),

			$\to \upsilon(h)=\upsilon_{0}$ (верхняя плоскость движется со скоростью $\upsilon_{0}$).

			Подставляя $y=0$: $0=C_{1}\cdot 0+C_{2}\Rightarrow C_{2}=0$

			Подставляя $y=h$: $\upsilon_{0}=C_{1}\cdot h\Rightarrow C_{1}=\frac{\upsilon_{0}}{h}$

			Таким образом, распределение скорости имеет вид:

			$$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y$$

			По определению сила вязкого трения $F$ на единицу площади каждой из плоскостей:

			$$F=\eta\frac{d\upsilon}{dy}$$

			Подставляя найденное распределение скорости:

			$$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y \text{, }0\lt y\lt h$

			$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$