Альтернативное решение

Силу, действующую на малую площадь сферы, можно выразить как произведение механического напряжения на эту площадь:

$$\mathrm{d}F = \sigma\, \mathrm{d}S$$

Из стереометрии известно, что площадь полной сферы:

$$S = 4\pi R^2 = R^2 \Omega,$$

где $\Omega = 4\pi$ — телесный угол полной сферы.

Берём дифференциал площади при постоянном $\Omega$:

$$\mathrm{d}S = 2R\, \mathrm{d}R\, \Omega$$

Отсюда получаем:

$$\mathrm{d}R = \frac{\mathrm{d}S}{2R\Omega}$$

Сила на малую часть сферы определяется как:

$$\mathrm{d}F = g\, \mathrm{d}m$$

Согласно теореме Гаусса, поток гравитационного поля:

$$\oint g\, \mathrm{d}S = -4\pi G M$$

Из симметрии поля:

$$g \cdot 4\pi R^2 = -4\pi G M \quad \Rightarrow \quad g = -\frac{G M}{R^2}$$

(Знак минус означает, что поле направлено к центру.)

Масса малого объема:

$$\mathrm{d}m = \rho\, \mathrm{d}V$$

Дифференциал объема через радиус и площадь:

$$\mathrm{d}V = 4\pi R^2\, \mathrm{d}R = \frac{R\, \mathrm{d}S}{2}$$

Подставим всё в исходное уравнение:

$$\sigma\, \mathrm{d}S = \left( \frac{G M}{R^2} \right) \rho \left( \frac{R\, \mathrm{d}S}{2} \right)$$

Сокращаем $\mathrm{d}S$ и упрощаем:

$$\sigma = \frac{G M \rho}{2R}$$

Подставляя значения, получаем:

$$\boxed{\sigma = 1{,}8 \cdot 10^{12}\ \text{Па}}$$