Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #13971 предыдущая #13969 ← раньше позже →
ru/4.4.2.md +38 −3
@@ -1,11 +1,46 @@
### Условие
−$4.4.2.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.4.2.$ Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями $h$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен $P$.
### Решение
−dfg
+Направим ось Х перпендикулярно к плоскостям, а ось Y вдоль течения жидкости. Для установившегося ламинарного течения в слое жидкости действует уравнение Навье-Стокса. В проекции на ось Y (при отсутствии внешних сил):
+$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dx^{2}}=\frac{dP}{dy}$$
+
+По условию задачи градиент давления:
+
+$$\frac{dP}{dy}=-P$$
+
+Тогда:
+
+$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dx^{2}}=-P$$
+
+Интегрируя уравнение дважды по $x$, получаем:
+
+$$\frac{d\upsilon}{dx}=-\frac{P}{\eta}x+C_{1}$$
+$$\upsilon(x)=-\frac{P}{2\eta}x^{2}+C_{1}x+C_{2}$$
+
+Запишем граничные условия: $\upsilon(0)=0$, $\upsilon(h)=0$ - жидкость "прилипает" к плоскостям. Из них найдём константы $C_{1}$ и $C_{2}$:
+
+$$\upsilon(0)=0=C_{2}$$
+$$\upsilon(h)=0=-\frac{P}{2\eta}h^{2}+C_{1}h \Longrightarrow C_{1}=\frac{P}{2\eta}h$$
+
+Таким образом, окончательное выражение для скорости:
+
+$$\upsilon(x)=-\frac{P}{2\eta}x^{2}+\frac{P}{2\eta}hx$$
+$$\upsilon(x)=\frac{P}{2\eta}x\left( h-x \right)$$
+
+Расход жидкости на единицу ширины потока вычисляется как интеграл:
+
+$$Q=\int_{0}^{h}\upsilon(x)dx$$
+
+Подставляем найденное $\upsilon(x)$:
+
+$$Q=\int_{0}^{h}\frac{P}{2\eta}x\left( h-x \right)dx=\frac{Ph}{2\eta}\frac{1}{2} x^{2}|_{0}^{h}-\frac{P}{2\eta}\frac{1}{3} x^{3}|_{0}^{h}=\frac{Ph^{3}}{2\eta}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)=\frac{Ph^{3}}{12\eta}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\upsilon=\frac{P}{2\eta}x(h-x) \text{, } 0\lt x\lt h$
+
+$Q=\frac{P}{12\eta}h^{3}$