Правка разделов «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #13972 предыдущая #13971 ← раньше позже →
ru/4.4.2.md +50 −21
@@ -4,43 +4,72 @@Условие
### Решение
−Направим ось Х перпендикулярно к плоскостям, а ось Y вдоль течения жидкости. Для установившегося ламинарного течения в слое жидкости действует уравнение Навье-Стокса. В проекции на ось Y (при отсутствии внешних сил):
+Направим ось \( x \) перпендикулярно к плоскостям, а ось \( y \) — вдоль направления течения жидкости.
−$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dx^{2}}=\frac{dP}{dy}$$
+Для установившегося ламинарного течения вдоль оси \( y \), при отсутствии внешних сил, уравнение Навье–Стокса имеет вид:
−По условию задачи градиент давления:
+\[
+\eta \frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{dP}{dy}
+\]
−$$\frac{dP}{dy}=-P$$
+По условию задачи, градиент давления вдоль оси \( y \) постоянен и равен:
−Тогда:
+\[
+\frac{dP}{dy} = -P
+\]
−$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dx^{2}}=-P$$
+Подставим это в уравнение:
−Интегрируя уравнение дважды по $x$, получаем:
+\[
+\eta \frac{d^2 v}{dx^2} = -P
+\]
−$$\frac{d\upsilon}{dx}=-\frac{P}{\eta}x+C_{1}$$
−$$\upsilon(x)=-\frac{P}{2\eta}x^{2}+C_{1}x+C_{2}$$
+Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрируем дважды по \( x \):
−Запишем граничные условия: $\upsilon(0)=0$, $\upsilon(h)=0$ - жидкость "прилипает" к плоскостям. Из них найдём константы $C_{1}$ и $C_{2}$:
+\[
+\frac{dv}{dx} = -\frac{P}{\eta} x + C_1
+\]
+\[
+v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + C_1 x + C_2
+\]
−$$\upsilon(0)=0=C_{2}$$
−$$\upsilon(h)=0=-\frac{P}{2\eta}h^{2}+C_{1}h \Longrightarrow C_{1}=\frac{P}{2\eta}h$$
+Граничные условия: \( v(0) = 0 \), \( v(h) = 0 \) — жидкость "прилипает" к плоскостям (условие прилипания). Подставим в общее решение:
−Таким образом, окончательное выражение для скорости:
+\[
+v(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0
+\]
+\[
+v(h) = 0 \Rightarrow -\frac{P}{2\eta} h^2 + C_1 h = 0 \Rightarrow C_1 = \frac{P}{2\eta} h
+\]
−$$\upsilon(x)=-\frac{P}{2\eta}x^{2}+\frac{P}{2\eta}hx$$
−$$\upsilon(x)=\frac{P}{2\eta}x\left( h-x \right)$$
+Подставим найденные константы:
−Расход жидкости на единицу ширины потока вычисляется как интеграл:
+\[
+v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + \frac{P}{2\eta} h x = \frac{P}{2\eta} x(h - x)
+\]
−$$Q=\int_{0}^{h}\upsilon(x)dx$$
+Расход на единицу ширины потока:
−Подставляем найденное $\upsilon(x)$:
+\[
+Q = \int_0^h v(x) \, dx = \int_0^h \frac{P}{2\eta} x(h - x) \, dx
+\]
−$$Q=\int_{0}^{h}\frac{P}{2\eta}x\left( h-x \right)dx=\frac{Ph}{2\eta}\frac{1}{2} x^{2}|_{0}^{h}-\frac{P}{2\eta}\frac{1}{3} x^{3}|_{0}^{h}=\frac{Ph^{3}}{2\eta}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)=\frac{Ph^{3}}{12\eta}$$
+Вынесем постоянные и вычислим интеграл:
+\[
+Q = \frac{P}{2\eta} \int_0^h x(h - x) \, dx = \frac{P}{2\eta} \left[ \frac{h x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^h = \frac{P}{2\eta} \left( \frac{h^3}{2} - \frac{h^3}{3} \right)
+\]
+
+\[
+Q = \frac{P h^3}{2\eta} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{P h^3}{12\eta}
+\]
+
#### Ответ
−$\upsilon=\frac{P}{2\eta}x(h-x) \text{, } 0\lt x\lt h$
+\[
+v(x) = \frac{P}{2\eta} x(h - x), \quad 0 < x < h
+\]
−$Q=\frac{P}{12\eta}h^{3}$
+\[
+Q = \frac{P h^3}{12\eta}
+\]