Решение

Общая формула давления на элемент площади:
$$dF = p(h) \, ds \tag{1}$$

а) Полуцилиндры

Рассматриваем малый элемент поверхности цилиндра:

Элемент площади:
$$ds = 2\pi R \, dh \tag{2}$$

Гидростатическое давление:
$$p(h) = \rho g h \tag{3}$$

Подставим (2) и (3) в (1):
$$dF = 2\pi R \rho g h \, dh \tag{4}$$

Интегрируем от $h = 0$ до $h = H + \frac{L}{2}$:
$$F = \int_0^{H + \frac{L}{2}} 2\pi R \rho g h \, dh = 2\pi R \rho g \int_0^{H + \frac{L}{2}} h \, dh = \pi R \rho g \left( H + \frac{L}{2} \right)^2 \tag{5}$$

б) Прямоугольная форма

Рассматриваем элемент боковой поверхности:

Площадь элемента:
$$ds = L \, dh \tag{6}$$

Подставим (6) и (3) в (1):
$$dF = \rho g h L \, dh \tag{7}$$

Интегрируем от $h = 0$ до $h = R + H$:
$$F = \int_0^{R + H} \rho g h L \, dh = \rho g L \int_0^{R + H} h \, dh = \frac{1}{2} \rho g L (R + H)^2 \tag{8}$$