Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от 2 апр. 2025 г., 17:54

правка #14025 предыдущая #13596 ← раньше

ru/8.4.17.md +33 −19

		@@ -1,39 +1,53 @@
			### Условие

			$8.4.17^*.$ Как зависит частота генератора, изображенного на рисунке, от напряжения $V$? Неоновая лампа загорается при напряжении $V_1$ и гаснет при напряжении $V_0 < V_1$. Сопротивлением горящей лампы пренебречь.
		−	![К задаче $8.4.17$\|148x68, 50%](../../img/8.4.17/2025-03-15_20-56-21.png)

		+	![К задаче $8.4.17$\|452x221, 45%](../../img/8.4.17/8.4.17.png)
		+
			### Решение
		+
			Конденсатор будет заряжаться до напряжения на нём $V_1$. После этого лампа загорится, ток на ней начнёт расти, а конденсатор будет разряжаться до тех пор, пока лампа будет гореть. Перестанет она гореть при напряжении $V_0 < V_1$. Потом кондесатор снова будет заряжаться. Запишем электроёмкость по определению:
		+
			$$
			C = \frac{dq}{dU}
			$$
		+
			Выразим заряд через определения силы тока и запишем через напряжение, используя закон Ома для учаска цепи:
		−	$$
		−	I = \frac{dq}{dt}
		−	$$
		−	$$
		−	dq = Idt = \frac{U}{R}dt
		−	$$
		+
		+	\[
		+	I = \frac{dq}{dt} \quad \Rightarrow \quad dq = I\,dt = \frac{U}{R}\,dt
		+	\]
		+
			Подставим значение заряда из силы тока в электроёмкость и получим дифференциальное уравнение для изменения напряжения на резисторе:
		+
			$$
			\frac{dU}{U} = \frac{1}{RC}dt
			$$
		+
			Так как сумма напряжений на резистре и на конденсаторе равна напряжению на всей цепи. Поэтому левую часть интегрируем от $V-V_1$ до $V-V_0$, а правую от $0$ до $T$:
		−	$$
		−	\int\frac{dU}{U} = \int\frac{1}{RC}dt
		−	$$
		+
		+	\[
		+	\int_{V - V_1}^{V - V_0} \frac{dU}{U} = \int_0^T \frac{dt}{RC}
		+	\]
		+
			Получим:
		−	$$
		−	T = RC~~\space ln(~~\frac{V-V_0}{V-V_1})
		−	$$
		+
		+	\[
		+	\ln \left( \frac{V - V_0}{V - V_1} \right) = \frac{T}{RC}
		+	\quad \Rightarrow \quad
		+	T = RC \cdot \ln \left( \frac{V - V_0}{V - V_1} \right)
		+	\]
		+
			А частота обратна по значению периоду, поэтому:
		−	$$
		−	\nu = (RC\space ln(\frac{V-V_0}{V-V_1}))^{-1}
		−	$$

		+	\[
		+	\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{RC \cdot \ln \left( \dfrac{V - V_0}{V - V_1} \right)}
		+	\]
		+
			#### Ответ

		−	$$
		−	\nu = ~~(RC\space ln(\frac~~{V-V_0}{V-V_1}~~))^{-1~~}
		−	$$
		+	\[
		+	\boxed{
		+	\nu = \frac{1}{RC \cdot \ln \left( \dfrac{V - V_0}{V - V_1} \right)}
		+	}
		+	\]

	@@ -1,39 +1,53 @@
	### Условие		### Условие

	$8.4.17^*.$ Как зависит частота генератора, изображенного на рисунке, от напряжения $V$? Неоновая лампа загорается при напряжении $V_1$ и гаснет при напряжении $V_0 < V_1$. Сопротивлением горящей лампы пренебречь.		$8.4.17^*.$ Как зависит частота генератора, изображенного на рисунке, от напряжения $V$? Неоновая лампа загорается при напряжении $V_1$ и гаснет при напряжении $V_0 < V_1$. Сопротивлением горящей лампы пренебречь.
	![К задаче $8.4.17$\|148x68, 50%](../../img/8.4.17/2025-03-15_20-56-21.png)

			![К задаче $8.4.17$\|452x221, 45%](../../img/8.4.17/8.4.17.png)

	### Решение		### Решение

	Конденсатор будет заряжаться до напряжения на нём $V_1$. После этого лампа загорится, ток на ней начнёт расти, а конденсатор будет разряжаться до тех пор, пока лампа будет гореть. Перестанет она гореть при напряжении $V_0 < V_1$. Потом кондесатор снова будет заряжаться. Запишем электроёмкость по определению:		Конденсатор будет заряжаться до напряжения на нём $V_1$. После этого лампа загорится, ток на ней начнёт расти, а конденсатор будет разряжаться до тех пор, пока лампа будет гореть. Перестанет она гореть при напряжении $V_0 < V_1$. Потом кондесатор снова будет заряжаться. Запишем электроёмкость по определению:

	$$		$$
	C = \frac{dq}{dU}		C = \frac{dq}{dU}
	$$		$$

	Выразим заряд через определения силы тока и запишем через напряжение, используя закон Ома для учаска цепи:		Выразим заряд через определения силы тока и запишем через напряжение, используя закон Ома для учаска цепи:
	$$
	I = \frac{dq}{dt}		\[
	$$		I = \frac{dq}{dt} \quad \Rightarrow \quad dq = I\,dt = \frac{U}{R}\,dt
	$$		\]
	dq = Idt = \frac{U}{R}dt
	$$
	Подставим значение заряда из силы тока в электроёмкость и получим дифференциальное уравнение для изменения напряжения на резисторе:		Подставим значение заряда из силы тока в электроёмкость и получим дифференциальное уравнение для изменения напряжения на резисторе:

	$$		$$
	\frac{dU}{U} = \frac{1}{RC}dt		\frac{dU}{U} = \frac{1}{RC}dt
	$$		$$

	Так как сумма напряжений на резистре и на конденсаторе равна напряжению на всей цепи. Поэтому левую часть интегрируем от $V-V_1$ до $V-V_0$, а правую от $0$ до $T$:		Так как сумма напряжений на резистре и на конденсаторе равна напряжению на всей цепи. Поэтому левую часть интегрируем от $V-V_1$ до $V-V_0$, а правую от $0$ до $T$:
	$$
	\int\frac{dU}{U} = \int\frac{1}{RC}dt		\[
	$$		\int_{V - V_1}^{V - V_0} \frac{dU}{U} = \int_0^T \frac{dt}{RC}
			\]

	Получим:		Получим:
	$$
	T = RC~~\space ln(~~\frac{V-V_0}{V-V_1})		\[
	$$		\ln \left( \frac{V - V_0}{V - V_1} \right) = \frac{T}{RC}
			\quad \Rightarrow \quad
			T = RC \cdot \ln \left( \frac{V - V_0}{V - V_1} \right)
			\]

	А частота обратна по значению периоду, поэтому:		А частота обратна по значению периоду, поэтому:
	$$
	\nu = (RC\space ln(\frac{V-V_0}{V-V_1}))^{-1}
	$$

			\[
			\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{RC \cdot \ln \left( \dfrac{V - V_0}{V - V_1} \right)}
			\]

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		\[
	\nu = ~~(RC\space ln(\frac~~{V-V_0}{V-V_1}~~))^{-1~~}		\boxed{
	$$		\nu = \frac{1}{RC \cdot \ln \left( \dfrac{V - V_0}{V - V_1} \right)}
			}
			\]