Решение

Критерием минимальности энергии электрона будет являться то, что он весь свой импульс передаст атому и соответсвенно после взаимодействия электрон будет обладать нулевой кинетической энергией. Система замкнута и изолирована. Запишем закон сохранения энергии:

$$T_{e}+U=U+E+T_{a}$$

где $T_{e}$ - кинетическая энергия электрона, $T_{a}$ - кинетическая энергия атома, $U$ - внутреняя энергия атома в основном состоянии.

Или упрощая: $T_{e}=E+T_{a}$.

Запишем закон сохранения импульса:

$$p_{e}=p_{a}$$

Поскольку импульс связан с кинетической энергией формулой: $p=\sqrt{2mT}$, перепишем закон сохранения импульса:

$$\sqrt{2m_{e}T_{e}}=\sqrt{2mT_{a}}$$

Отсюда:

$$T_{a}=T_{e}\frac{m_{e}}{m}$$

Подставим найденное выражение в закон сохранения энергии:

$$T_{e}=E+T_{e}\frac{m_{e}}{m}$$
$$T_{e}=\frac{E}{1-\frac{m_{e}}{m}}$$

Так как для всех атомов $\frac{m_{e}}{m}\ll 1$, то можно воспользоваться приближенной формулой $(1-x)^{\alpha} \approx 1-\alpha x$ при $x\ll 1$. Тогда;

$$T_{e}=\frac{E}{1-\frac{m_{e}}{m}}=E\left( 1-\frac{m_{e}}{m} \right)^{-1} \approx E\left( 1+ \frac{m_{e}}{m}\right)$$