2.6.2 | правка #14048 | Решения Савченко

Условие

2.6.2. Некоторые планеты Солнечной системы имеют орбиту, близкую к круговой, с центром в Солнце, причем обращаются они вокруг Солнца почти равномерно. Как направлено ускорение этих планет? Как оно зависит от расстояния между ними и Солнцем, если установлено, что квадрат периода обращения планет пропорционален кубу радиуса их орбиты? (Представьте себе, что вы еще не знаете закона всемирного тяготения.)

Решение

Поскольку планеты движутся по орбите, близкой к круговой, их движение можно считать равномерным по окружности. При таком движении ускорение направлено вдоль радиуса орбиты к центру окружности, то есть к Солнцу. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Скорость движения планеты по орбите:

$\upsilon=\frac{2\pi R}{T}$

Центростремительное ускорение:

$a=\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{\left( \frac{2\pi R}{T} \right)^{2}}{R}=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$

По условию задачи нам известно, что:

$T^{2}=\alpha R^{3}$

Подставляя эту зависимость в выражение для ускорения, получим:

$a=\frac{4\pi^{2}R}{\alpha R^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{\alpha R^{2}}=\frac{K}{R^{2}}$

где $$K$$ - постоянная, а $$R$$ - расстояние от Солнца до планеты.

Ответ

$a=\frac{K}{R^{2}}$ где $$K$$ - постоянная, а $$R$$ - расстояние от Солнца до планеты.