Решение

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты, можно записать в виде:

$$ma=\frac{GMm}{R^{2}}$$

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью $\upsilon$ его ускорение равно центростремительному ускорению $\frac{\upsilon^{2}}{R}$. С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью $\upsilon_{1}$ приобретает вид:

$$m\frac{\upsilon_{1}^{2}}{R}=\frac{GMm}{R^{2}}$$

Отсюда для первой космической скорости следует:

$$\upsilon_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$$

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты $R_{п}$ и высоты над её поверхностью $h$. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде:

$$\upsilon_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R_{п}+h}}$$

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

$$T=\frac{2\pi (R_{п}+h)}{\upsilon_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{(R_{п}+h)^{3}}{GM}}$$

Для околоземной и окололунной орбитам можно принять $h\approx 0$, тогда, подставляя числовые значения величин, получим: для околоземной орбиты $\upsilon_{1}\approx 7,9 \text{ км/с}$, $T_{1}\approx 84 \text{ мин}$; для окололунной орбиты $\upsilon_{2}\approx 1,7 \text{ км/с}$, $T_{2}\approx 105 \text{ мин}$