Решение

Линейное увеличение $k$ это отношение размера изображения к размеру объекта. Для тонкой линзы линейное увеличение можно переписать через отношение расстояния $b$ между линзой и изображением и расстоянием $a$ между объектом и линзой:

$$k=\frac{b}{a} \tag{1}$$

Уравнение тонкой линзы:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f} \tag{2}$$

где $f$ - фокусное расстояние линзы. Из (1) получим: $a=\frac{b}{k}$, подставим в уравнение линзы (2):

$$\frac{k}{b}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f} \Longrightarrow \frac{k+1}{b}=\frac{1}{f}\Longrightarrow b=f(k+1)$$

Освещённость фотоплёнки, обратно пропорционален квадрату расстояния от объектива до плёнки (по закону обратных квадратов):

$$E\sim \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{f^{2}(k+1)^{2}}$$

Если фокусное расстояние $f$ фиксировано, то освещённость обратно пропорциональна $(k+1)^{2}$:

$$E\sim \frac{1}{(k+1)^{2}}$$

Чтобы сохранить ту же экспозицию при уменьшении освещённости, нужно увеличить выдержку в той же пропорции:

$$t\sim (k+1)^{2}$$

Для двух состояний можем записать пропорцию:

$$\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{(k_{1}+1)^{2}}{(k_{2}+1)^{2}}$$

Отсюда:

$$t_{1}=t_{2}\left( \frac{k_{1}+1}{k_{2}+1} \right)^{2}$$