Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #14108 предыдущая #14106 ← раньше позже →
ru/11.4.6.md +53 −5
@@ -1,13 +1,61 @@
### Условие
−$11.4.6.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.6.$ В цепи, состоящей из заряженного конденсатора емкости $C_0$ и катушки индуктивности $L$, замыкают ключ $K$. По какому закону должна изменяться во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?
+![К задаче $11.4.6$|800x564, 50%](../../img/11.4.6/1146.png)
+
### Решение
−В цепи, состоящей из заряженного конденсатора емкости C0 и катушки индуктивности L, замыкают ключ K. По какому закону должна изменяться
−во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?
+Считаем, что ток меняется по закону $I=kt$, где $k$ есть постоянный коэффициент (ток начинает меняться с нуля, так как через катушку он не может измениться скачком в момент коммутации).
+Второе правило Кирхгофа:
−#### Ответ
+$$
+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
+$$
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+где $q$ и $C$ есть заряд и емкость конденсатора, которые могут меняться во времени.
+
+Производная $di/dt=d(kt)/dt=k$ (см. первый абзац). Так что:
+
+$$
+Lk+\frac{q}{C}=0
+$$
+
+и
+
+$$
+C=-\frac{q}{Lk}.
+$$
+
+Заряд можно представить через интеграл, затем можно взять необходимый интеграл:
+
+$$
+C=-\frac{1}{Lk}\int i\,dt=-\frac{1}{Lk}\int kt\,dt=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}+A\right),
+$$
+
+где $A$ есть постоянная интегрирования, которая находится из начального условия при $t=0$:
+
+$$
+C_0=-\frac{1}{L}\big(0+A\big),
+$$
+
+откуда:
+
+$$
+A=-LC_0.
+$$
+
+Искомая зависимость:
+
+$$
+C=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}-LC_0\right)=C_0-\frac{t^2}{2L},
+$$
+
+что можем представить в виде:
+
+$$
+C=C_0\left(1-\frac{t^2}{2LC_0}\right).
+$$
+
+#### Ответ: $C=C_0\left(1-\dfrac{t^2}{2LC_0}\right)$.