Правка раздела «Условие»

igor правка от 7 апр. 2025 г., 05:48

правка #14109 предыдущая #14108 ← раньше позже →

ru/11.4.6.md +1 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие

			$11.4.6.$ В цепи, состоящей из заряженного конденсатора емкости $C_0$ и катушки индуктивности $L$, замыкают ключ $K$. По какому закону должна изменяться во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?

		−	![К задаче $11.4.6$\|800x564, 50%](../../img/11.4.6/1146.png)
		+	![К задаче $11.4.6$\|800x564, 40%](../../img/11.4.6/1146.png)

			### Решение

			Считаем, что ток меняется по закону $I=kt$, где $k$ есть постоянный коэффициент (ток начинает меняться с нуля, так как через катушку он не может измениться скачком в момент коммутации).

			Второе правило Кирхгофа:

			$$
			L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
			$$

			где $q$ и $C$ есть заряд и емкость конденсатора, которые могут меняться во времени.

			Производная $di/dt=d(kt)/dt=k$ (см. первый абзац). Так что:

			$$
			Lk+\frac{q}{C}=0
			$$

			и

			$$
			C=-\frac{q}{Lk}.
			$$

			Заряд можно представить через интеграл, затем можно взять необходимый интеграл:

			$$
			C=-\frac{1}{Lk}\int i\,dt=-\frac{1}{Lk}\int kt\,dt=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}+A\right),
			$$

			где $A$ есть постоянная интегрирования, которая находится из начального условия при $t=0$:

			$$
			C_0=-\frac{1}{L}\big(0+A\big),
			$$

			откуда:

			$$
			A=-LC_0.
			$$

			Искомая зависимость:

			$$
			C=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}-LC_0\right)=C_0-\frac{t^2}{2L},
			$$

			что можем представить в виде:

			$$
			C=C_0\left(1-\frac{t^2}{2LC_0}\right).
			$$

			#### Ответ: $C=C_0\left(1-\dfrac{t^2}{2LC_0}\right)$.
		ещё строк без изменений 53

	@@ -1,8 +1,8 @@
	### Условие		### Условие

	$11.4.6.$ В цепи, состоящей из заряженного конденсатора емкости $C_0$ и катушки индуктивности $L$, замыкают ключ $K$. По какому закону должна изменяться во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?		$11.4.6.$ В цепи, состоящей из заряженного конденсатора емкости $C_0$ и катушки индуктивности $L$, замыкают ключ $K$. По какому закону должна изменяться во времени емкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?

	![К задаче $11.4.6$\|800x564, 50%](../../img/11.4.6/1146.png)		![К задаче $11.4.6$\|800x564, 40%](../../img/11.4.6/1146.png)

	### Решение		### Решение

	Считаем, что ток меняется по закону $I=kt$, где $k$ есть постоянный коэффициент (ток начинает меняться с нуля, так как через катушку он не может измениться скачком в момент коммутации).		Считаем, что ток меняется по закону $I=kt$, где $k$ есть постоянный коэффициент (ток начинает меняться с нуля, так как через катушку он не может измениться скачком в момент коммутации).

	Второе правило Кирхгофа:		Второе правило Кирхгофа:

	$$		$$
	L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,		L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
	$$		$$

	где $q$ и $C$ есть заряд и емкость конденсатора, которые могут меняться во времени.		где $q$ и $C$ есть заряд и емкость конденсатора, которые могут меняться во времени.

	Производная $di/dt=d(kt)/dt=k$ (см. первый абзац). Так что:		Производная $di/dt=d(kt)/dt=k$ (см. первый абзац). Так что:

	$$		$$
	Lk+\frac{q}{C}=0		Lk+\frac{q}{C}=0
	$$		$$

	и		и

	$$		$$
	C=-\frac{q}{Lk}.		C=-\frac{q}{Lk}.
	$$		$$

	Заряд можно представить через интеграл, затем можно взять необходимый интеграл:		Заряд можно представить через интеграл, затем можно взять необходимый интеграл:

	$$		$$
	C=-\frac{1}{Lk}\int i\,dt=-\frac{1}{Lk}\int kt\,dt=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}+A\right),		C=-\frac{1}{Lk}\int i\,dt=-\frac{1}{Lk}\int kt\,dt=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}+A\right),
	$$		$$

	где $A$ есть постоянная интегрирования, которая находится из начального условия при $t=0$:		где $A$ есть постоянная интегрирования, которая находится из начального условия при $t=0$:

	$$		$$
	C_0=-\frac{1}{L}\big(0+A\big),		C_0=-\frac{1}{L}\big(0+A\big),
	$$		$$

	откуда:		откуда:

	$$		$$
	A=-LC_0.		A=-LC_0.
	$$		$$

	Искомая зависимость:		Искомая зависимость:

	$$		$$
	C=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}-LC_0\right)=C_0-\frac{t^2}{2L},		C=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}-LC_0\right)=C_0-\frac{t^2}{2L},
	$$		$$

	что можем представить в виде:		что можем представить в виде:

	$$		$$
	C=C_0\left(1-\frac{t^2}{2LC_0}\right).		C=C_0\left(1-\frac{t^2}{2LC_0}\right).
	$$		$$

	#### Ответ: $C=C_0\left(1-\dfrac{t^2}{2LC_0}\right)$.		#### Ответ: $C=C_0\left(1-\dfrac{t^2}{2LC_0}\right)$.
	ещё строк без изменений 53