Решение

Плоскость — проводящая и незаряженная. Чтобы учесть её влияние, используем метод зеркальных зарядов. Заменим влияние плоскости на систему эквивалентной системой из двух мнимых зарядов: для каждого настоящего заряда $Q$, на противоположной стороне плоскости симметрично ставится мнимый заряд $−Q$. Таким образом, мы получаем четыре заряда в вершинах квадрата со стороной $2h$.

Рассчитаем силу, действующую на левый заряд $Q$ от всех других зарядов (смотри рисунок). Сила Кулона $\vec F_{1}$, действующая на заряд $Q$ со стороны мнимого симметричного заряда $−Q$ в проекции на ось $Y$, будет:

$$F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}$$

Сила Кулона $\vec F_{2}$, действующая на заряд $Q$ со стороны соседнего заряда $Q$ в проекции на ось $X$, будет:

$$F_{2}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}$$

Сила Кулона $\vec F_{3}$, действующая на заряд $Q$ со стороны мнимого несимметричного заряда $−Q$ будет действовать вдоль диагонали квадрата под углом $\frac{\pi}{4}$ к осям $X$ и $Y$. Расстояние между этими зарядами равно длине диагонали квадрата: $2\sqrt{2}h$. Модуль силы $\vec F_{3}$:

$$F_{3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8h^{2}}$$

Распишем эту силу в проекциях на оси координат:

$$F_{3X}=F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$
$$F_{3Y}=F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$

Проекция результирующей силы, действующей на заряд $Q$, вдоль оси $X$ будет:

$$F_{X}=F_{3X}+F_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2}}-1 \right)$$

Проекция результирующей силы, действующей на заряд $Q$, вдоль оси $Y$ будет:

$$F_{Y}=F_{3Y}+F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2}}+1 \right)$$

Модуль результирующей силы будет:

$$F=\sqrt{F_{X}^{2}+F_{Y}^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \sqrt{\left( \frac{1}{2\sqrt{2}}-1 \right)^{2}+\left( \frac{1}{2\sqrt{2}}+1 \right)^{2}}$$

Раскрыв квадраты в подкоренном выражении и проведя подсчёт, получим, что под корнем стоит $\frac{9}{4}$. Тогда:

$$F=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3Q^{2}}{32\pi\varepsilon_{0}h^{2}}$$