Решение

Будем решать задачу методом зеркальных зарядов. Найдём сперва изображение заряда $q$ на шаре. Из сферической симметрии шара ясно, что мнимый заряд $q_{1}$ должен быть размещен на линии соединяющей центр шара с зарядом $q$. Выбирем на поверхности шара произвольную точку $B$, а точку размещения заряда $q_{1}$ (точка $C$) такую, чтобы треугольник $OBC$ был подобен треугольнику $OAB$ (по двум равным углам). Из подобия треугольников получим:

$$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{L} \tag{1}$$

Потенциал в точке $B$ будет суммой потенциалов, создающих зарядов $q$ и $q_{1}$:

$$\varphi_{B}=\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}$$

Поскольку шар металлический, то считаем его идеальным проводником. Согласно теореме Фарадея электрическое поле внутри шара равно 0. Потенциал шара будет равен потенциалу на его поверхности. Подберём такую величину заряда $q_{1}$, чтобы суммарный потенциал от заряда $q$ и $q_{1}$ в точке $B$ был равен 0:

$$\varphi_{B}=0$$
$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}=0$$
$$q_{1}=-q\frac{BC}{AB}$$

Используя (1), получим:

$$q_{1}=-q\frac{R}{L} \tag{2}$$

Из выражения (2) видно, что величина $q_{1}$ не зависит от положения точки $B$ на шаре. Следовательно, потенциал, создаваемый зарядами $q$ и $q_{1}$, обращается в нуль во всех точках поверхности шара, то есть $q_{1}$ является электрическим изображеним заряда $q$ в шаре. Но по условию задачи полный заряд шара должен быть равен 0. Тогда для компенсации заряда $q_{1}$ внутри шара вставим ещё один мнимый заряд $q_{2}$ такой величины, чтобы сумма зарядов равнялась 0:

$$q_{1}+q_{2}=0$$
$$q_{2}=-q_{1}$$

Используя (2), получим:

$$q_{2}=q\frac{R}{L} \tag{3}$$

Разместим этот заряд в центре шара. Тогда потенциал на поверхности шара будет:

$$\varphi=\varphi_{q_{2}}+\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}$$

Но $\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=0$, тогда $\varphi=\varphi_{q_{2}}$.

Потенциал заряда $q_{2}$ (размещён в центре шара) на поверхности шара:

$$\varphi_{q_{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2}}{R}$$

Подставим (3) в наше выражение:

$$\varphi_{q_{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q\frac{R}{L}}{R}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$$

Итак, потенциал шара равен:

$$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$$