Правка раздела «Решение»
ru/6.3.31.md
+27 −2
| ### Условие | |||
| $6.3.31.$ Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $L$ от центра изолированного металлического шара радиуса $R < L$. Полный заряд шара равен нулю. Чему равен потенциал шара? | |||
| ### Решение | |||
|  | |||
| Будем решать задачу методом зеркальных зарядов. Найдём сперва изображение заряда $q$ на шаре. Из сферической симметрии шара ясно, что мнимый заряд $q_{1}$ должен быть размещен на линии соединяющей центр шара с зарядом $q$. Выбирем на поверхности шара произвольную точку $B$, а точку размещения заряда $q_{1}$ (точка $C$) такую, чтобы треугольник $OBC$ был подобен треугольнику $OAB$ (по двум равным углам). Из подобия треугольников получим: | |||
| $$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{L} \tag{1}$$ | |||
| Потенциал в точке $B$ будет суммой потенциалов, создающих зарядов $q$ и $q_{1}$: | |||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение | |||
| $$\varphi_{B}=\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}$$ | |||
| − | Поскольку шар металлический, то считаем его идеальным проводником. Согласно теореме Фарадея электрическое поле внутри шара равно 0. По | ||
| + | Поскольку шар металлический, то считаем его идеальным проводником. Согласно теореме Фарадея электрическое поле внутри шара равно 0. Потенциал шара будет равен потенциалу на его поверхности. Подберём такую величину заряда $q_{1}$, чтобы суммарный потенциал от заряда $q$ и $q_{1}$ в точке $B$ был равен 0: | ||
| $$\varphi_{B}=0$$ | |||
| $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}=0$$ | |||
| $$q_{1}=-q\frac{BC}{AB}$$ | |||
| Используя (1), получим: | |||
| @@ -24,8 +24,33 @@Решение | |||
| $$q_{1}=-q\frac{R}{L} \tag{2}$$ | |||
| − | Из вы | ||
| + | Из выражения (2) видно, что величина $q_{1}$ не зависит от положения точки $B$ на шаре. Следовательно, потенциал, создаваемый зарядами $q$ и $q_{1}$, обращается в нуль во всех точках поверхности шара, то есть $q_{1}$ является электрическим изображеним заряда $q$ в шаре. Но по условию задачи полный заряд шара должен быть равен 0. Тогда для компенсации заряда $q_{1}$ внутри шара вставим ещё один мнимый заряд $q_{2}$ такой величины, чтобы сумма зарядов равнялась 0: | ||
| + | |||
| + | $$q_{1}+q_{2}=0$$ | ||
| + | $$q_{2}=-q_{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Используя (2), получим: | ||
| + | |||
| + | $$q_{2}=q\frac{R}{L} \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Разместим этот заряд в центре шара. Тогда потенциал на поверхности шара будет: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi=\varphi_{q_{2}}+\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}$$ | ||
| + | |||
| + | Но $\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=0$, тогда $\varphi=\varphi_{q_{2}}$. | ||
| + | |||
| + | Потенциал заряда $q_{2}$ (размещён в центре шара) на поверхности шара: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{q_{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2}}{R}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (3) в наше выражение: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{q_{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q\frac{R}{L}}{R}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$$ | ||
| + | |||
| + | Итак, потенциал шара равен: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$$ | ||
| ### Ответ: | |||
| $\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.31.$ Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $L$ от центра изолированного металлического шара радиуса $R < L$. Полный заряд шара равен нулю. Чему равен потенциал шара? | $6.3.31.$ Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $L$ от центра изолированного металлического шара радиуса $R < L$. Полный заряд шара равен нулю. Чему равен потенциал шара? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  |  | ||
| Будем решать задачу методом зеркальных зарядов. Найдём сперва изображение заряда $q$ на шаре. Из сферической симметрии шара ясно, что мнимый заряд $q_{1}$ должен быть размещен на линии соединяющей центр шара с зарядом $q$. Выбирем на поверхности шара произвольную точку $B$, а точку размещения заряда $q_{1}$ (точка $C$) такую, чтобы треугольник $OBC$ был подобен треугольнику $OAB$ (по двум равным углам). Из подобия треугольников получим: | Будем решать задачу методом зеркальных зарядов. Найдём сперва изображение заряда $q$ на шаре. Из сферической симметрии шара ясно, что мнимый заряд $q_{1}$ должен быть размещен на линии соединяющей центр шара с зарядом $q$. Выбирем на поверхности шара произвольную точку $B$, а точку размещения заряда $q_{1}$ (точка $C$) такую, чтобы треугольник $OBC$ был подобен треугольнику $OAB$ (по двум равным углам). Из подобия треугольников получим: | ||
| $$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{L} \tag{1}$$ | $$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{L} \tag{1}$$ | ||
| Потенциал в точке $B$ будет суммой потенциалов, создающих зарядов $q$ и $q_{1}$: | Потенциал в точке $B$ будет суммой потенциалов, создающих зарядов $q$ и $q_{1}$: | ||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение | |||
| $$\varphi_{B}=\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}$$ | $$\varphi_{B}=\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}$$ | ||
| Поскольку шар металлический, то считаем его идеальным проводником. Согласно теореме Фарадея электрическое поле внутри шара равно 0. По |
Поскольку шар металлический, то считаем его идеальным проводником. Согласно теореме Фарадея электрическое поле внутри шара равно 0. Потенциал шара будет равен потенциалу на его поверхности. Подберём такую величину заряда $q_{1}$, чтобы суммарный потенциал от заряда $q$ и $q_{1}$ в точке $B$ был равен 0: | ||
| $$\varphi_{B}=0$$ | $$\varphi_{B}=0$$ | ||
| $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}=0$$ | $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}=0$$ | ||
| $$q_{1}=-q\frac{BC}{AB}$$ | $$q_{1}=-q\frac{BC}{AB}$$ | ||
| Используя (1), получим: | Используя (1), получим: | ||
| @@ -24,8 +24,33 @@Решение | |||
| $$q_{1}=-q\frac{R}{L} \tag{2}$$ | $$q_{1}=-q\frac{R}{L} \tag{2}$$ | ||
| Из вы | Из выражения (2) видно, что величина $q_{1}$ не зависит от положения точки $B$ на шаре. Следовательно, потенциал, создаваемый зарядами $q$ и $q_{1}$, обращается в нуль во всех точках поверхности шара, то есть $q_{1}$ является электрическим изображеним заряда $q$ в шаре. Но по условию задачи полный заряд шара должен быть равен 0. Тогда для компенсации заряда $q_{1}$ внутри шара вставим ещё один мнимый заряд $q_{2}$ такой величины, чтобы сумма зарядов равнялась 0: | ||
| $$q_{1}+q_{2}=0$$ | |||
| $$q_{2}=-q_{1}$$ | |||
| Используя (2), получим: | |||
| $$q_{2}=q\frac{R}{L} \tag{3}$$ | |||
| Разместим этот заряд в центре шара. Тогда потенциал на поверхности шара будет: | |||
| $$\varphi=\varphi_{q_{2}}+\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}$$ | |||
| Но $\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=0$, тогда $\varphi=\varphi_{q_{2}}$. | |||
| Потенциал заряда $q_{2}$ (размещён в центре шара) на поверхности шара: | |||
| $$\varphi_{q_{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2}}{R}$$ | |||
| Подставим (3) в наше выражение: | |||
| $$\varphi_{q_{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q\frac{R}{L}}{R}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$$ | |||
| Итак, потенциал шара равен: | |||
| $$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$$ | |||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$ | $\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}L}$ | ||