Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/7.4.11.md
+28 −3
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.4.11.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.4.11.$ В одной из моделей иона $H^{+}_{2}$ электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости симметрии иона. Расстояние между протонами $R$. Найдите скорость, с которой движется электрон по орбите радиуса $r$. | ||
| ### Решение | |||
| − | csadf | ||
| + | Электрон находится на равном удалении от обоих протонов, в плоскости, перпендикулярной оси, соединяющей протоны. Если электрон находится на середине перпендикуляра, то каждый протон находится от него на расстоянии: | ||
| + | $$d=\sqrt{r^{2}+\left( \frac{R}{2} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{4r^{2}+R^{2}}}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Обозначим угол $\alpha$ между линией соединяющей два протоны и линией соединяющей протон с электроном, тогда $\sin\alpha=\frac{r}{d}$. | ||
| + | |||
| + | Сила кулоновского притяжения от одного протона: | ||
| + | |||
| + | $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e^{2}}{d^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Силы от двух протонов суммируются по направлению к центру орбиты: | ||
| + | |||
| + | $$F_{r}=2F\sin\alpha=2\cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e^{2}}{d^{2}}\cdot \frac{r}{d}=\frac{e^{2}r}{2\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$$ | ||
| + | |||
| + | Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение: | ||
| + | |||
| + | $$m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{r}=F_{r}$$ | ||
| + | $$m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{e^{2}r}{2\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда $\upsilon$: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\sqrt{\frac{e^{2}r^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{e}d^{3}}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим выражение для $d$: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\sqrt{\frac{4e^{2}r^{2}}{\pi\varepsilon_{0}m_{e}\left( 4r^{2}+R^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\upsilon=\sqrt{\frac{4e^{2}r^{2}}{\pi\varepsilon_{0}m_{e}\left( 4r^{2}+R^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.11.$ [Вставьте условие задачи] | $7.4.11.$ В одной из моделей иона $H^{+}_{2}$ электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости симметрии иона. Расстояние между протонами $R$. Найдите скорость, с которой движется электрон по орбите радиуса $r$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| csadf | Электрон находится на равном удалении от обоих протонов, в плоскости, перпендикулярной оси, соединяющей протоны. Если электрон находится на середине перпендикуляра, то каждый протон находится от него на расстоянии: | ||
| $$d=\sqrt{r^{2}+\left( \frac{R}{2} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{4r^{2}+R^{2}}}{2}$$ | |||
| Обозначим угол $\alpha$ между линией соединяющей два протоны и линией соединяющей протон с электроном, тогда $\sin\alpha=\frac{r}{d}$. | |||
| Сила кулоновского притяжения от одного протона: | |||
| $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e^{2}}{d^{2}}$$ | |||
| Силы от двух протонов суммируются по направлению к центру орбиты: | |||
| $$F_{r}=2F\sin\alpha=2\cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e^{2}}{d^{2}}\cdot \frac{r}{d}=\frac{e^{2}r}{2\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$$ | |||
| Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение: | |||
| $$m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{r}=F_{r}$$ | |||
| $$m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{e^{2}r}{2\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$$ | |||
| Отсюда $\upsilon$: | |||
| $$\upsilon=\sqrt{\frac{e^{2}r^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{e}d^{3}}}$$ | |||
| Подставим выражение для $d$: | |||
| $$\upsilon=\sqrt{\frac{4e^{2}r^{2}}{\pi\varepsilon_{0}m_{e}\left( 4r^{2}+R^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\upsilon=\sqrt{\frac{4e^{2}r^{2}}{\pi\varepsilon_{0}m_{e}\left( 4r^{2}+R^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}}$$ | ||