Решение

Электрон находится на равном удалении от обоих протонов, в плоскости, перпендикулярной оси, соединяющей протоны. Если электрон находится на середине перпендикуляра, то каждый протон находится от него на расстоянии:

$$d=\sqrt{r^{2}+\left( \frac{R}{2} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{4r^{2}+R^{2}}}{2}$$

Обозначим угол $\alpha$ между линией соединяющей два протоны и линией соединяющей протон с электроном, тогда $\sin\alpha=\frac{r}{d}$.

Сила кулоновского притяжения от одного протона:

$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e^{2}}{d^{2}}$$

Силы от двух протонов суммируются по направлению к центру орбиты:

$$F_{r}=2F\sin\alpha=2\cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e^{2}}{d^{2}}\cdot \frac{r}{d}=\frac{e^{2}r}{2\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$$

Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение:

$$m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{r}=F_{r}$$
$$m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{e^{2}r}{2\pi\varepsilon_{0}d^{3}}$$

Отсюда $\upsilon$:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{e^{2}r^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{e}d^{3}}}$$

Подставим выражение для $d$:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{4e^{2}r^{2}}{\pi\varepsilon_{0}m_{e}\left( 4r^{2}+R^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}}$$