6.4.17 | правка #14260 | Решения Савченко

Условие

6.4.17. Найдите энергию электрического поля конденсаторов, заряженных до разности потенциалов $$V$$ :

$а$\textbf{а) }$$ плоского конденсатора с площадью пластин $$S = 1$$ $м$м^{2}$$ , расположенных на расстоянии $$d = 1$$ мм друг от друга при $$V = 1$$ кВ;

$б$\textbf{б) }$$ сферического конденсатора с радиусом сфер $r_{1}$ и $r_{2}$ ;

$в$\textbf{в) }$$ цилиндрического конденсатора длины $$l$$ с радиусом обкладок $r_{1}$ и $r_{2}$ .

Решение

$а$\textbf{а) }$$ Для того чтобы найти энергию электрического поля плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов $$V$$ , воспользуемся формулой:

$W=\frac{1}{2}CV^{2}$

Ёмкость плоского конденсатора (вывод формулы - задача $$6.4.3$$ ):

$C=\frac{\varepsilon_{0}S}{d}$

Окончательно:

$W=\frac{\varepsilon_{0}SV^{2}}{2d}$

Подставляя числовые значения, получим: $мДж$W=4,4 \text{ мДж}$$ .

$б$\textbf{б) }$$ Для того чтобы найти энергию электрического поля сферического конденсатора, заряженного до разности потенциалов $$V$$ , воспользуемся формулой:

$W=\frac{1}{2}CV^{2}$

Ёмкость сферического конденсатора с радиусом сфер $r_{1}$ и $r_{2}$ (вывод формулы - задача $$6.4.5$$ ):

$C=4\pi\varepsilon_{0}\cdot \frac{r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}$

Окончательно:

$W=\frac{2\pi\varepsilon_{0}r_{1}r_{2}V^{2}}{r_{2}-r_{1}}$

$в$\textbf{в) }$$ Для того чтобы найти энергию электрического поля цилиндрического конденсатора, заряженного до разности потенциалов $$V$$ , воспользуемся формулой:

$W=\frac{1}{2}CV^{2}$

Ёмкость цилиндрического конденсатора длины $$l$$ с радиусом обкладок $r_{1}$ и $r_{2}$ (вывод формулы - задача $$6.4.7$$ ):

$C=\frac{2\pi\varepsilon_{0}l}{\ln(\frac{r_{2}}{r_{1}})}$

Окончательно:

$W=\frac{\pi\varepsilon_{0}lV^{2}}{\ln (\frac{r_{2}}{r_{1}})}$

Ответ

$а$\textbf{а) }$$ $мДж$$W=4,4 \text{ мДж}$$$

$б$\textbf{б) }$$ $W=\frac{2\pi\varepsilon_{0}r_{1}r_{2}V^{2}}{r_{2}-r_{1}}$

$в$\textbf{в) }$$ $W=\frac{\pi\varepsilon_{0}lV^{2}}{\ln (\frac{r_{2}}{r_{1}})}$