Решение

Обозначим скорость, с которой вода вытекает из сосуда - $\upsilon(t)$, а скорость, с которой перемещается уровень воды - $u(t)$. Также обозначим, что высота уровня воды - $h(t)$, тогда $u(t)=\frac{dh}{dt}$. Искомое ускорение: $a=\frac{d u}{dt}$.

Запишем уравнение непрерывности:

$$s\upsilon=Su$$

Дифференцируем по времени обе части:

$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{d \upsilon}{dt} \tag{1}$$

Скорость вытекания воды из сосуда определяется формулой Торричелли:

$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$

Продифференцируем по времени эту функциональную зависимость, как сложную функцию:

$$\frac{d \upsilon}{dt}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2g}{\sqrt{2gh}}\cdot \frac{d h}{dt}=\frac{g}{\upsilon}u$$

Подставим выражение для $\frac{d \upsilon}{dt}$ в (1):

$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{g}{\upsilon}u \tag{2}$$

Но $a=\frac{d u}{dt}$, а отношение скоростей из уравнения непрерывности: $\frac{u}{\upsilon}=\frac{s}{S}$

Тогда выражение (2) можно переписать так:

$$a=\frac{s}{S}\cdot g\cdot \frac{s}{S}=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$