Решение

Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома:

$$\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu$$

$$mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c}$$

Аналогично запишем для испускания в противоположное направление:

$$\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu'$$

$$mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c}$$

Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$:

$$\Delta v = \frac{h\nu}{mc}$$

$$\Delta v' = \frac{h\nu'}{mc}$$

Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим:

$$\varepsilon = h\nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)$$

$$\varepsilon = h\nu'\left(1 + \frac{v}{c}\right)$$

И получим окончательный ответ:

$$\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu$$

Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая:

$$\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu''$$

$$(mv)^2 = (mv_1)^2 + \left(\frac{h\nu''}{c}\right)^2$$

Выражая из уравнения для импульса $v_1$, получим:

$$\varepsilon = h\nu''\left(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2}\right)$$

Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то:

$$\varepsilon = h\nu''$$

Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим:

$$\nu'' = \nu\left(1 - \frac{v}{c}\right)$$

Необходимо отметить, что данное решение сделано с точки зрения классическое механики, хотя строго её надо решать с позиций релятивиской механики. Но ответ, приведенный здесь, совпадёт с релятивиским. :)