Решение

Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит:

$$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$

Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать:

$$T\sin\alpha=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$
$$T\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$

Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l} \right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка.

В связи с этим перепишем второй закон Ньютона:

$$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$

По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид:

$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет:

$$x(t)=A\sin(\omega_{1}t) \tag{1}$$

где частота колебаний:

$$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$

Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза:

$$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$

Эта величина есть константой. Возьмём производную:

$$0=\frac{x\cdot \frac{d x}{dt}}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}+\frac{d y}{dt}$$

Используя $\sqrt{l^{2}+x^{2}}\approx l$, запишем:

$$\frac{d y}{dt}=-\frac{x}{l}\cdot \frac{d x}{dt} \tag{2}$$

Чтобы найти $\frac{d x}{dt}$ продифференцируем (1):

$$\frac{d x}{dt}=A\omega_{1}\cos(\omega_{1}t) \tag{3}$$

Подставим (1) и (3) в (2):

$$\frac{d y}{dt}=-\frac{A\sin(\omega_{1}t)}{l}\cdot A\omega_{1}\cos(\omega_{1}t)=-\frac{2A^{2}\omega_{1}}{2l}\sin(\omega_{1}t)\cos(\omega_{1}t)=-\frac{A^{2}\omega_{1}}{2l}\sin(2\omega_{1}t)$$

Скорость груза $M$ меняется по гармоническому закону с частотой $\omega_{2}=2\omega_{1}$, а значит с такой же частотой будет колебаться груз:

$$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$