Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #14319 предыдущая #14318 ← раньше позже →
ru/5.6.19.md +52 −3
@@ -1,11 +1,60 @@
### Условие
−$5.6.19.$ [Вставьте условие задачи]
+$5.6.19.$ Поршень массы $M$, закрывающий объем $V_{0}$ одноатомного газа при давлении $P_{0}$ и температуре $T_{0}$, движется со скоростью $u$. Определите температуру и объем газа при максимальном сжатии. Система теплоизолирована, теплоемкостями поршня и сосуда пренебречь.
+![К задаче $5.6.19$|249x113, 30%](../../img/5.6.19/5.6.19.png)
+
### Решение
−sdf
+Запишем первое начало термодинамики:
+$$\Delta U = Q + A$$
+
+У нас система теплоизолирована, поэтому $Q=0$. Газ увеличивает свою внутреннюю энергию за счёт работы, выполняемой поршнем по адиабатическому сжатию газа. Эта работа равна изменению кинетической энергии поршня. При максимальном сжатии скорость поршня в конце процесса равна 0, то есть вся кинетическая энергия поршня переходит во внутренюю энергию газа:
+
+$$\Delta U = A = \frac{1}{2}Mu^{2} \tag{1}$$
+
+Для $\nu$ молей одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии:
+
+$$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(T-T_{0}) \tag{2}$$
+
+Приравняем (1) и (2):
+
+$$\frac{3}{2}\nu R(T-T_{0})=\frac{1}{2}Mu^{2}$$
+
+Выразим отсюда $T$:
+
+$$T=T_{0}+\frac{Mu^{2}}{3\nu R}=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3\nu RT_{0}}\right) \tag{3}$$
+
+Запишем уравнение Менделеева-Клейперона: $P_{0}V_{0}=\nu RT_{0}$. Тогда выражение (3) можно записать:
+
+$$T=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right) \tag{4}$$
+
+Так как у нас процесс адиабатический, то запишем уравнение адиабаты:
+
+$$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$$
+
+где $\gamma=\frac{5}{3}$ - показатель адиабаты для одноатомного идеального газа.
+
+Для двух состояний уравнение примет вид:
+
+$$T_{0}V_{0}^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$$
+$$V=V_{0}\left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}} \tag{5}$$
+
+Подставим (4) в (5):
+
+$$V=V_{0}\left( \frac{T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right)}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$
+
+Показатель степени:
+
+$$\frac{1}{\gamma-1}=\frac{1}{\frac{5}{3}-1}=\frac{3}{2}$$
+
+Окончательно:
+
+$$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$T=T_{0}\left( 1+\frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)$$
+
+$$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$