| Запишем первое начало термодинамики: | | Запишем первое начало термодинамики: |
| | | |
| $$\Delta U = Q + A$$ | | $$\Delta U = Q + A$$ |
| | | |
| У нас система теплоизолирована, поэтому $Q=0$. Газ увеличивает свою внутреннюю энергию за счёт работы, выполняемой поршнем по адиабатическому сжатию газа. Эта работа равна изменению кинетической энергии поршня. При максимальном сжатии скорость поршня в конце процесса равна 0, то есть вся кинетическая энергия поршня переходит во внутренюю энергию газа: | | У нас система теплоизолирована, поэтому $Q=0$. Газ увеличивает свою внутреннюю энергию за счёт работы, выполняемой поршнем по адиабатическому сжатию газа. Эта работа равна изменению кинетической энергии поршня. При максимальном сжатии скорость поршня в конце процесса равна 0, то есть вся кинетическая энергия поршня переходит во внутренюю энергию газа: |
| | | |
| $$\Delta U = A = \frac{1}{2}Mu^{2} \tag{1}$$ | | $$\Delta U = A = \frac{1}{2}Mu^{2} \tag{1}$$ |
| | | |
| Для $\nu$ молей одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии: | | Для $\nu$ молей одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии: |
| | | |
| $$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(T-T_{0}) \tag{2}$$ | | $$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(T-T_{0}) \tag{2}$$ |
| | | |
| Приравняем (1) и (2): | | Приравняем (1) и (2): |
| | | |
| $$\frac{3}{2}\nu R(T-T_{0})=\frac{1}{2}Mu^{2}$$ | | $$\frac{3}{2}\nu R(T-T_{0})=\frac{1}{2}Mu^{2}$$ |
| | | |
| Выразим отсюда $T$: | | Выразим отсюда $T$: |
| | | |
| $$T=T_{0}+\frac{Mu^{2}}{3\nu R}=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3\nu RT_{0}}\right) \tag{3}$$ | | $$T=T_{0}+\frac{Mu^{2}}{3\nu R}=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3\nu RT_{0}}\right) \tag{3}$$ |
| | | |
| Запишем уравнение Менделеева-Клейперона: $P_{0}V_{0}=\nu RT_{0}$. Тогда выражение (3) можно записать: | | Запишем уравнение Менделеева-Клейперона: $P_{0}V_{0}=\nu RT_{0}$. Тогда выражение (3) можно записать: |
| | | |
| $$T=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right) \tag{4}$$ | | $$T=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right) \tag{4}$$ |
| | | |
| Так как у нас процесс адиабатический, то запишем уравнение адиабаты: | | Так как у нас процесс адиабатический, то запишем уравнение адиабаты: |
| | | |
| $$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$$ | | $$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$$ |
| | | |
| где $\gamma=\frac{5}{3}$ - показатель адиабаты для одноатомного идеального газа. | | где $\gamma=\frac{5}{3}$ - показатель адиабаты для одноатомного идеального газа. |
| | | |
| Для двух состояний уравнение примет вид: | | Для двух состояний уравнение примет вид: |
| | | |
| $$T_{0}V_{0}^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$$ | | $$T_{0}V_{0}^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$$ |
| $$V=V_{0}\left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}} \tag{5}$$ | | $$V=V_{0}\left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}} \tag{5}$$ |
| | | |
| Подставим (4) в (5): | | Подставим (4) в (5): |
| | | |
| $$V=V_{0}\left( \frac{T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right)}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$ | | $$V=V_{0}\left( \frac{T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right)}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$ |
| | | |
| Показатель степени: | | Показатель степени: |
| | | |
| $$\frac{1}{\gamma-1}=\frac{1}{\frac{5}{3}-1}=\frac{3}{2}$$ | | $$\frac{1}{\gamma-1}=\frac{1}{\frac{5}{3}-1}=\frac{3}{2}$$ |
| | | |
| Окончательно: | | Окончательно: |
| | | |
| $$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$ | | $$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$T=T_{0}\left( 1+\frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)$$ | | $$T=T_{0}\left( 1+\frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)$$ |
| | | |
| $$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$ | | $$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$ |
