Решение

Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движения. Условно расстояние $x$ от точки приложения силы $F$. По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня.

$$\mu m_1g\frac{x}{2}+\mu m_2\frac{L-x}{2}=Fx$$

Из однородности стержня ясно, что:

$$m_1=\frac{m}{L}x$$

$$m_2=\frac{m}{L}(L-x)$$

Подставим:

$$\mu mg\frac{x^2}{2L}+\mu mg\frac{(L-x)^2}{2L}=Fx$$

Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $x$:

$$\mu mg(\frac{x}{L}+\frac{L}{2x}-1)=F$$

Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум:

$$\frac{d}{dx}F=\frac{1}{L}-\frac{L}{2x^2}=0$$

Выражаем плечо в единицах длины стержня:

$$x=\frac{L}{\sqrt{2}}$$

Подставим в уравнение силы:

$$\mu mg\left[\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{L}+\frac{L}{2\frac{L}{\sqrt{2}}}-1\right]=F$$

Сократим длину и рацианализируем дроби:

$$\mu mg(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1)=F$$

Отсюда получаем ответ:

$$\boxed{F=\mu mg(\sqrt{2}-1)}$$