Решение

Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $x$ от точки приложения силы $F$. По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня.
$$\mu m_1g\frac{x}{2}+\mu m_2\frac{L-x}{2}=Fx$$
Из однородности стержня ясно, что:
$$m_1=\frac{m}{L}x$$
$$m_2=\frac{m}{L}(L-x)$$
Подставим:
$$\mu mg\frac{x^2}{2L}+\mu mg\frac{(L-x)^2}{2L}=Fx$$
Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $x$:
$$\mu mg(\frac{x}{L}+\frac{L}{2x}-1)=F$$
Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум:
$$\frac{d}{dx}F=\frac{1}{L}-\frac{L}{2x^2}=0$$
Выражаем плечо в единицах длины стержня:
$$x=\frac{L}{\sqrt{2}}$$
Подставим в уравнение силы:
$$\mu mg(\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{L}+\frac{L}{2\frac{L}{\sqrt{2}}}-1)=F$$
Сократим длину и рацианализируем дроби::
$$\mu mg(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1)=F$$
Отсюда получаем ответ:
$$\boxed{F=\mu mg(\sqrt{2}-1)}$$